一天一题·赢在微点40 极值点偏移，数形结合重细节-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

|第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 40 极值点偏移，数形结合重细节 精研一题 先证x1十x2>2. [典例]已知函数f(x)=x(1一lnx). 设F(x)=f(2-x)-f(x)(0<x<1),F(x)= (1)讨论f(x)的单调性。 -f(2-x)-f(.x)=ln(2-x)+lnx=ln(-x2+ (2)设a,b为两个不相等的正数，且lna一 2x)<0,则F(x)在(0,1)内单调递减， ah6=a-6,证明：2<日+<c 则当0<x<1时，F(x)=f(2-x)一f(.x)>0, 则f(2-x1)>f(x1)=f(x2). 尝试斛意： 由于2一>12>1，把交校到同二单调区问是关能 函数(x)在(1，十∞)上单调递成， ; 则2-x1<2,所以x十x2>2. 注意新 再证x1十x2<e. 元范因 法一比值换元：设2=1，则t>1,2=t1,由 f(x1)=f(x2)得1(1-lnx1)=tx1[1 n门.化简可得n=1-气 要证r1+x2<e,即证(1+t)x1<e, 即证ln(1十t)+lnx1<1. nt∠1 即证ln1+)+1一1- 即证n1+Dlnt 1-1 令g0->10,则g) 1--Int 深得一法（解题观摩） (1-1)2 令e(0=1--1nt1>1),则g()=1<0. ①)由题意，得∫(x)=1-lnx十x(-) 2 ()在(1，+∞)上单调递减， -lnx(x>0), <注意函斑的定义线 故(t)<e(1)=0, 所以当x∈(0,1)时，f(x)>0,此时f(x)单调递增： 则g'(t)<0,g(1)在(1，十∞)上单调递减， 当x∈(1，十o∞)时，了(.x)<0,此时f(.x)单调递诚. (2)证明：由ina-alnb=a-b可得-上 1=1 +1<ga.h<即n+<e d 法二放缩法：因为0<x1<1, 2n6即-n）=80-1n》 所以1-lnx1>1, 利用条件送行等价转化，子找与已知孟数相同的结构 因为1(1-lnx1)=x2(1一lnx2)>x1, 所以x1十x2<2.x2一x2lnxg. 令=1 1 方(x1≠x2). 令G(x)=2z-xlnx,x∈(1，e), 不妨设x2>>0,则f(x1)=f(x2), 则G'(x)=1-lnx>0, 写出变量范国，求乎定 乎春数值的林号是关键 又f(e)=0,由(1)可得0<x1<1<x2<e 所以G(x)在(1e)内单周递增， 则原问题等价于已知正实数x1,x2满足f(x1)= 所以G(.x)<G(e)=e, f(x2),证明2<r1十x2<e. 所以2.x2-x2lnx2<e,即x1+x2<e. 将所桌不等式转化为此不等式，化盾生为熟悉 综上，原不等式得证 85 新高考方案系列丛书一书三用数学 [通性通法] :2.已知函数f(x)=ln.x一a.x(a∈R). 解决极值点偏移问题的基本方法有构造函数： (1)讨论函数f(x)的单调性： (对称性构造，直接构造)、构造新元（齐次化构造等）： (2)当a=1时，方程f(x)一m(m<一2)有两个相 和对数平均不等式.构造的目的在于消元，构造函： 异实根x1,2,且x1<x2,证明：x1·x<2. 数的关键在于利用函数在极值点两侧的不同单调 性，在运用对数平均不等式时，首先要进行结构形 式上的转化，只有“形似”才能“神同”，为不等式的使 用创造条件 全取一类 1.已知函数fx)=ln2-ax. (1)若f(x)≤-1，求实数a的取值范围： (2)若f(x)有2个不同的零点1，x2(x1<2）, 求证：2+3>品 [86当b=3时，设(x=二h13,:g1)=c-3<0. 图为a>0,所以只需证2n+3h>12 故对a>0,e一ax2≥lnx+3不恒成立， 即证2n4+3rln112 存在a,使得f八x)≥g(x)十b对于任意的x>0成立，整： 1-1-15 数b的最大值是2. 一天一题·赢在微点40 周为>1：岸送n一>0 1.解：(1)周为函数f(x)的定义城为(0，十o©)， -12g-DD,则G0=3=2 所以)≤-1成立，等价于≥血上成主. 令G0=lh1厂53+2 (3F+27>0, 所以G(t)在(1，十©)上单调递增，G(t)>G(1)=0 令h(r)=nX+,则N(r)=1-二2nr 聊当>1时，1n1-12->0位成立，今题得证。 x2 r 5(3t+2) ◆g)=1一21n到以)=-1-兰<0，所以g2.解：0南题意得，了)--。-1与>0。 在(0，十○)上单调递诚， : 当≤0时，由>0，得1-a.r>0,即了(x)>0,所以f(x) 又因为g(1)=0,所以当x∈(0,1)时，h(x)>0,h(x)单调： 在(0，十0∞