一天一题·赢在微点39 妙用隐零点，巧解导数问题-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

|第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 39 妙用隐零点，巧解导数问题 精研一题 ig(x)=rer+l-In r-x-2, 构造函数 [典例]已知函数f(x)=xer+1. 则g'(x)=(x+1)e+1-1-1 利用最值法 (1)求f(.x)的极值： 比较大小 (2)当x>0时，f(x)≥(a+1)x+lnx+2,求实 数a的取值范围. =(x+1(e1-)x>0. 堂说解意： 记h(.x)=er+1-1 ()无法判断单调 性，蒋次构造函数 则)=e1+>0相成立， 所以h(x)在x∈(0，+oo)上单调递增， 又h()-e+-e2<0,h1)=e2-1>0. 所以存在∈（己），使得，)=0， <构造“隐零 点”以使判 当x<xo时，h(x)<0,此时g(x)<0: 断g(x)的 单调性 当x>0时，h(x)>0,此时g(x)>0, 所以g(x)在(0，x4)内单调递减， 在(xo,十o∞)上单调递增， 由h(xo)=,+1-1=0,得，1=1 即=1 efT'In to=-to-1, 所以g(.x)≥g(xo)=xoe2。+1-lnx0-x0-2= xo· 1+0+1-x0-2=0. ①当a≤0时，因为g(x)=xe+1-lnx-x-2≥0. ax≤0，所以不等式恒成立，所以a≤0. <讨论a 的取值 ②当a>0时，因为存在∈（侵1），使 深得一法（解题观摩）》 得g(xa)=0,而a.xo>0,此时不满足xe+1一lnx (1)求导得f(x)=(x+1)e+1, 所以当f(x)>0时，x>一1. 一x-2≥ax,所以d无解。 当f(x)<0时，x<-1, 综上所述，a的取值范围是（一o,0]. 所以f(.x)在（一∞，一1）上单调递减，在（一1，十∞）[通性通法]判断函数零点个数的思路 上单调递增。 已知含参函数f(x,a),其中a为参数，导函数 所以f(x)有极小值f(一1)=一1，无枚大值. 方程了(x,a)=0的根存在，却无法求出.设方程 (2)由题知不等式xe+1≥(a+1)x十1nx十2在x ∈(0，十∞)上恒成立， f(r,a)=0的根为xo,则①有关系式f(x0a)=0 则原问题等价于不等式xe十1一lnx一x一2>ax 成立，该关系式给出了x0,4的关系：②注意确定x0 在x∈(0，十∞)上恒成立， 等价转化 的合适范围，往往和a的范围有关. 83 新高考方案系列丛书一书三用数学 全取一类 :2.(2023·模拟)已知a>0,函数f(.x)=e一a.z2, L.(2023·聊城一模)已知函数f(x)=xlnx+a g(r)=In r. g(x)=2xe'-In z-x-In 2. (1)若0<a≤气，求证：f()在R上是增函数： (1)若直线y=x是曲线y=f(x)的一条切线，求 (2)若存在a,使得f(x)≥g(x)+b对于任意的 a的值： x>0成立，求整数b的最大值. (2)若对于任意的x1∈(0，+∞)，都存在x2∈(0， 十∞)，使f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围. [845.解析：fx)=(一2+ar)e,则f(x)=e(-2+ax-2x+a), (2)由g(x)=2re-lnr-x-ln2,得g(x)=2e+2.xe' 所以函数「(x)在区间（一1,1]上存在减区间，只需一x十： 4,r一2x十a<0在区同（一1,1]上有解， -1-+1(2e-） 又x∈（-1,1们，则x十1∈(0,2，所以a<+2在区间 x+1 设h(x)=2e- 1.则h(x)=2e+7 (-1.1门上有解，所以4<(+2） x十1 ,x∈(-1,1门 因为当x>0时，h(x)=2e+>0,所以h(x)在(0，十oo) x 令x+1=1,1e(0,2,则十2红_2二1 =1 1 上单调递增， x+1 =2eT-4<0.h(1)=2e-1>0. 令g)=1-,期R)=1+>0在区间0,2]上旗成立. 又因为（十）】 所以g(D在(0.2]内单调道增，所以g)m=g(2)= ,即 所以春在∈(，1），使6)=0， 2 且当x∈(0，x)时，h(x)<0:当x∈(2，+o∞)时，h(z)>0: (程），所以< 从而g'()=0,且当x∈(0，m)时，g(x)<0: 当x∈(，十∞)时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(0，x]内 所以实载口的取值花国是（一©，是） 单调递减，在[x,十∞)上单调道增， 周此g(r)n=g(ro)=2xen一lntn一r-ln2, 答案(-∞，2】 由h)=0,得h()=2的-=0e=号 ,从而 一天一题·赢在微点38 十lnx。=-n2,所以g(x).=1十n2-ln2=1. 1.解：(1)由已知，将A(0,a)代入切线方程得a=1, 由对