一天一题·赢在微点37～一天一题·赢在微点38-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

新高考方案系列丛书一书三用数学 丽在微露37 一天一题 已知函数增或减，导数符号不改变 精研一题 深得一法 [典例](2023·全国乙卷)设a∈(0,1)，若函数 对于已知函数的单调性求参数问题 f(x)=a十(1十a)F在(0，十∞)上单调递增，则a:(1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，转化 的取值范围是 为区间D上f'(x)≥0恒成立： 尝试辞题： (2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，转化 为区间D上f'(x)≤0恒成立： (3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，转化 为了(x)>0在区间D上有解： (4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，转化 为f(x)<0在区间D上有解。 全取一类 1.若函数f(x)=x一 3sin2x十asin x在(-oo, 十o∞)单调递增，则a的取值范围是 A.[-1,1] B[-13] c[】 n[-1-】 2.已知函数f(.x)=2+4x+alnx,若函数f(x)在 (1,2)上是单调函数，则实数a的取值范围是() A.(-6,+∞) B.(-o,-16) C.(-o0,-16]U[-6,十oo) D.(-∞，-16)U(-6,+c∞) :3.(2023·梅州一模)已知函数f(x)=x2十2r+2-1, [多维变通] 若不等式f(1-ax)<f(2+x2)对任意x∈R恒 1.(变条件)若本例条件“在(0，十c∞)上单调递增”变 成立，侧实数a的取值范围是 () 为“在(0，+∞)上存在单调递减区间”，则a的取 A.(-25,2) B.(-2,23) 值范围为 C.(-23.23) D.(-2,2) 2.(条件)已知函数f(x)=品十a,若f(x)在4.已知函数f(x)=ar2+n(x+1)十，对任意的 (1,十c∞)上单调递减，则a的取值范围是 1∈.+o.f)-f)<1恒成立，则 x一x2 3.(支条件)若函数fx)-专-nx在区间 实数a的取值范围是 5.若函数f(.x)=(-x2+ax)e在区间(-1,1]上 m,m十)上不单调，则实数m的取值范围为 存在单调递减区间，侧实数4的取值范围是 4 80 |第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 在酸38 一天一题 证明不等式，分参、构造离不了 精研一题 因为g(x)为连续不间断函数， [典例](2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)= 故存在xo∈(0.十∞)，使得Hx∈(0，)，总有 rear-er. g(x)>0,所以g(x)在(0，xo)内单调递增， (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； g(x)>g(0)=0,h(x)在(0，xn)内单调递增， (2)当x>0时，f(x)<一1，求a的取值范围： 1+1十…+ 故h(x)>h(0)=0,与题设矛盾. (3)设n∈N·,证明： √12+1√22+2 若0<a< 1->1n(n+1) √m十n 则h'(.x)=(1+a.x)e-e 利用n-i 进行放缩，判断 尝试解题： h(x的符号 ; =er+lmt1+r)一e, 下证：对任意x>0,总有ln(1十x)<x成立， 证明：设S(x)=ln(1+x)-x,故S(x)=1千x 1 <0，故S(x)在(0，+∞)上单调递减，故 11十x S(x)<S(0)=0,即ln(1十x)<x成立. 由上述不等式有er+ln1+a)一e<ear+ar-er= e如-e≤0，故h'(.x)<0总成立，即h(r)在 (0,十o∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)=0. 当a≤0时，有h'(x)=er一e十a.xer<1-1十0 =0,所以h(.x)在(0，十∞)上单周递减，所以h(x) <h(0)=0.(直接应用ln(1十x)<x,不作证明扣分) 第三步：确定参数a的取值范围 深得一法（解题观摩） 综上的取值范周为（一0，] (1)当a=1时，f(x)=xe-e(x∈R), f(x)=xe, :(3)第一步：利用(2)的结论证21n 当x>0时，f(.x)=xe>0,函数f(x)在(0，十oo)上 单调递增： 当xr<0时，f(x)=e<0,函数f(x)在（一o,0)上 Vn+1 单调递减。 (2)第一步：构造函数，二次求导 证明：由(2)知当a=号，x>0时x-c<-. 设h(.x)=xe一e十1，则h(0)=0, 所以x<er- 云（解签题的把关题中前面小题 1 又h'(x)=(1+a.x)er-e', 设g(x)=(1十a.xer-e2,则g'(x)=(2a十a2x) clar-ef, 往往是为后面小题服务的，本题(2)得到a≤7，在 第二步：函数对参数口分类讨论，利用函数单调性 研究a是否满足不等式 (3)中取a=2拾好满足) 若a>2则g'0)=2a-1>0, 令er=t,t>l,则x=