一天一题·赢在微点32 探究性问题，先设后证多不求-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 震在成照32 探究性问题，先“设”后“证”多“不求” 精研一题 (2)2MN为定值.证明如下： [典例]已知抛物线C:y2=2p.x(p>0),其焦 FNI 点为F,O为坐标原点，直线1与抛物线C相交于不 ,抛物线C:y2=2px(p>0), 同的两点A,B,M为AB的中点， ·焦点F的坐标为（号，0小 (1)若p=2,M的坐标为(1,1)，求直线1的 由题意知，直线的斜率存在且不为0， 方程： ,直线1过焦点F, (2)若直线l过焦点F,AB的垂直平分线交x 轴于点N,试向：2引是香为定值？若为定值。 故设直线1的方程为x=y十号(，≠0)， 试求出此定值：否则，请说明理由， 设A(y),B(x22). 通到的点为(，0)，与其考愁 尝试解惠： + 常规设法y最xm),不如把 由 直线设为xy十m更简洁 y2=2pr 得y2-2pry-p2=0, ∴.A=4p2r2+4p2>0,y1+y%=2pr.+xg= r(1十y2)+p=2pr2+p, 设线：利周直线MN的方 程，求得IMN,IFN的 .M(pr+2.pr). 值，进而求得姑论 ∴.直线MN的方程为y一pr=一 r(r-pr-2). 令=0，解得=p+号：即Nm2+碧0， ∴.1MN|2=p2+p2r2, :设而不求是解析元 何中比校重要的一 IFN=m2+要专=m2+p, 种方法，此处用参 ∠数r表示1材NI2与 :2MN2-2士)=2a IWI的表达或，设 FN pr+p 而不求，化简即可 .2M FN为定值，且定值为2p, [通性通法」 深得一法（解题观摩） 1.探究性问题的两种类型 (1)由题意知，直线1的斜率存在且不为0， 若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论 故设直线1的方程为x一1=t(y一1)(1≠0)， 、 是否成立，成立则存在，否则不存在，如本例.若探究 即x=y十1一t, 结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行 设A(x1y1),B(x2y2) 设点、设线，联立】 方程，利用根与 讨论，往往涉及对参数的讨论 x=1y+1-t, 系数的关系求解 由 2.设而不求在解析几何中的应用 y2=4x 设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较 得y2-41y-4+41=0, 特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的 ∴.△=162+16-161=16(2-t+1)>0, 变式和整体思想的应用.设而不求的灵魂是通过科 y1+y2=4t, 1 学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应 、41=2,即=2 的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为 ∴直线1的方程为2x一y一1=0. :过渡，设而不求。 73 |新高考方案系列丛书一书三用数学 3.存在性问题的解题步骤 2.设椭圆E的方程为+21(a>1D,点0为坐 (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关 于参变量的方程（组）或不等式（组）. 标原点，点A,B的坐标分别为(a,0),(0,1),点M (2)解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在，若 在线段AB上，满足|BM=2IMA,直线OM的 无解则不存在， 斜率为本 1 (3)得出结论. (1)求椭圆E的方程： 4.解决存在性问题的注意事项 存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结 (2)若动直线1与椭圆E交于P,Q两点，且恒有 论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在 OP⊥OQ,是否存在一个以原点O为圆心的定圆C (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论， 使得动直线！始终与定圆C相切？若存在，求圆 (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成 C的方程，若不存在，请说明理由. 立，再推出条件 (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时， 要思雏开放，采取另外的途径。 全取一类 1已知桶圆C, =1(a>b>0)的离心率为 2 椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合. (1)求椭圆C的方程： (2)如图，A,B是椭圆的左、右 顶点，过点F且斜率不为0的 直线交椭圆C于点M,N,直线 AM与直线x=4交于点P.记 PA,PF,BN的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在 实数入，使得k1十k=入k2？若存在，求出入的值： 若不存在，请说明理由. 74#A入与 4 : (2)当直线斜率不存在时，设直线【的方程为r■， 所以十=4，i=青，此时原点到直线1的距离为d2】 5 所以直线AB的方程为x=一y十 √/3k-1 将其与号 当直线1的斛率存在时，设直线I的方程为y=kx十m, y2=1(r>0)联立得(k2-3)y2- 8k2 设点P(工1，y),Q(x),原点O到直线1的距离为d,所 √3k-1 3k-1 以d= ,整理得m=(k十1)， √/1+k 8