一天一题·赢在微点31 圆锥曲线求最值，函数思想是关键-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 赢在微31 圆锥曲线求最值，函数思想是关键 精研一题 所以|AB|=V1+2|x1一x丝|=√1+2· [典例](2021·金m乙卷)已知抛物线C:x2 √(x1+x2)2-4x1x2=4W1十k2·Vk2+b. 2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y十4)2 =1上点的距离的最小值为4. 因为x2=4y,即y= 趣到利用乎敏的几 4 何意义求切线方往 (1)求p: (2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线， 所以y=号，则抛物线在点A处的切线斜率为 2 A,B是切点，求△PAB面积的最大值 尝试解蔑： 在点A处的切线方程为y一4=2 即y= 2- ，同理得抛物线在点B处的切线 4 方程为受 y=21- 4 x=4十2=2k, 2 联立得 则 2r-4 y= x12=一b, 4 即P(2k,一b).因为点P在圆M上，所以4k2+(4 b)2=1.且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3， 即-长<3≤5，满足(* 不要忽视寸k,b 的取值范西，以 设点P到直线AB的距离为d, 免得到错误答案 则d=12k2+261 √1+k2 ! 所以SAPAB=2AB·d=4W(k+b). 由4k2+(4一b)2=1,得 注意通过换元，将可 遁转化为求二次高殺 深得一法（解题观摩） 2-1-4-b2_-序+8-15 在[3,5]上的最值 4 (1)抛物线C的焦点为F(0,号)： F与司M上的，点的 令1=2+6，则1=+126-15，且3≤6≤5。 炬寄的装大值是 |MF|+r,最小值 1FM=专+4，号+4-1=4 为MF-T 因为1=一+12-15在[3,5]内单调递增， 4 解得p=2. 所以当b=5时，t取得最大值，4mx=5,此时k=0, (2)由(1)知，抛物线方程为x2=4y 所以△PAB面积的最大值为20√5. 由题意可知直线AB的斜率存在， 设A),B(,),直线AB的方程为y [通性通法]求解最值问题的两种方法 特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关 kx十b 几何法 结论米求最值 y=kx十b 联立得 消去y得x2-4k.x一4b=0, x2=4y 常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或 代数法 则△=16k2+16b>0(*),x1十x2=4k,x1x2= 三角函数的最值问题，然后利用基本不等式 -4b, 函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 71 新高考方案系列丛书一书三用数学 全取一类 :2.若点Q(6,1)在以F, 1.已知点F(1,0),点P为平面上的动点，过点P作：F2为左、右焦点的双曲 直线1：x=一1的垂线，垂足为Q,且QP·QF= 线C:无一京=1(a>0,b FP·FQ (1)求动点P的轨迹C的方程： >0)上，双曲线C的虚 (2)设点P的轨迹C与x轴交于点M,点A,B是： 轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程： 轨迹C上异于点M的不同的两点，且满足MA· (2)如图，点P在双曲线C的左支上，若直线！与 AB=0,求MB1的最小值。 双曲线C的右支交于不同的两点A,B,其中A在 第一象限，且【与∠FPF2的平分线m垂直，垂 足为D.线段AP中点为O.求0的最大值， 72xy-kyy-1 xx-ky-1 1+k √1+ =X1AB1× 南小少=-（红）得+g-16-9-0, 心|-吉×1AB×2要 1 y2=4x √1+ 1+ 2 ×12(1+k)×2V3A+4.12/1+ 1+k 3k2+4 /1+ V3k+4 =123+4 45√1-3w+4 （-4+》广(+.- 所以MB引=√十场 国为0<3+≤年，所以6≤5<4v. √[(+)门+(--) 周此，四边形ABN的而积的取值范国为[6,4√3). 2.解：(1)因为点(6,1)在C上， V(+)+(+) 所以号-=1① 设1=(+)≥4，当且仅当=士1时等号成立， 由题意知，2c=4,c=2, 所以a十b=4④， 由①②，解得a=3,i=1, 则1M丽=4厅=√+)-. 故双曲线C的方程为写-少=1. 所以当1=4时，MB取最小值为8V5. :2.解：(1)因为虚抽长为2，即2b=2,所以b=1 (2)设直线1的方程为y=飞x+m(k≠0)，且A(,y), 固为Q(w6,1)在双曲线C上， B( y=kr十m 所以将点Q的坐标代入双尚线C的方程得-}-1，别 联立 331.消y可得.江63㎡D-0 。=3,所以双曲线C的标准方程为写-了=1。 由题意可知△=36km2十12(1一3k2)(m2十1)>0，得m2十 (2)由(1)知，F(-2,0),F(2,0).由题意，点A与点P关于原 1>3,由被与系数的关系，得 点对称.由双曲线的对称性，设A(x,片)，则P(一马·一)，