一天一题·赢在微点29 定值问题并不难，构造函数再消参-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 29 定值问题并不难，构造函数再消参 精研一题 :(2)证明：当直线1的斜率不存在时， 设直线l:x=t(-3<t<3且t≠0)， [典例] 已知桶周E:后+ =1(a>b>0)的 下计论直线 的州率不弃 在的情形 离心率为e,点(1，e)在椭圆E上，点A(a,0),B(0,b), 由9 +少=1得=1-号 x=t △A0B的面积为号，0为坐标原点。 (1)求椭圆E的标准方程： 则k1k2 (2)若直线1交椭圆E于M,N两点，直线OM 1 解得2=2 9 的斜率为k1,直线ON的斜率为k2,且k1k2=一 9" 证明：△OMN的面积是定值，并求此定值. 则5aowN=×2,1-号×=2 尝试解轰： 当直线1的斜率存在时，设M(1片)，N(2,2),直 线1：y=k.x十m(加≠0)，深究直线的纤率存在的情形 「y=kx十， 由x2 9+2=1 消去y并整理， 得(9k2+1)x2+18km.x十9m2-9=0. △=(18km)2-4(9k2+1)(9m2-9) =36(9k2-m2+1)>0. 18k x1+r2= 9m2-9 9k2+1012= 9k2+1 点1妇=当X业=k红十m)(k2十m T1T2 =-9k2+m2 1 kk号得到， 9m2-9 9 m之阿的等量关系 化简得9k2+1=2m2,满足△>0. 1MN1=√1+k21.-x2 =√1+k2·√(x1十2)2-4x1x2 一√1+k2 18km N9k2+1 -4.9m2-9 9k2+1 61+k·√9k2-m2+1 )求出弦长|W 9k2+1 的表达式 m 深得一法（解题观摩） 又原点O到直线1的距离d= √1+k2 求出原点0 1+2 到直线1的 a2t21, 所以S△OMN= X|MN|×d 距离d的表 2 迭武 (1)由 得b=1. 3√1+k2V9k-m2+1 m 9k2+1 V1+2 c2=a2-b. 3 又SAm=2ab-号，得a=3, =3mV2m2-m2 2m2 2 所以桶圆E的标准方程为号+y=1. 综上可知，△OMN的面积为定值多 铺67 新高考方案系列丛书一书三用数学 [通性通法]圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法：2.过原点O的直线与抛物线C:y2=2px(p>0)交 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固： 于点Q,线段OQ的中点为M,又点N(3p,0), 定的值. MN⊥OQ.在下面给出的三个条件中任选一个填 (2)两大解法： 在横线处，并解答下列问题： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量： ①1OQI=4√6，②|MN1=2√3：③△MON的面 无关： 积为6√2. ②引进变量法：其解题流程为 (1)已知 ,求抛物线C的方程： 变量一选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 (2)已知点P(1,2),设A,B是曲线C上横坐标不 函数一把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 等于1的两个不同的动点，直线PA,PB与y轴 分别交于D,E两点，线段DE的垂直平分线经过 定值一把得到的函数化简，消去变量得到定值 点P.证明：直线AB的斜率为定值， 全取一类 1.已知点M(号2)在稀圆E:导+芳=1。>1， b>0)上，且点M到椭圆E左顶点的距离是到右 顶点距离的v3倍， (1)求椭圆E的方程： (2)点P是椭圆E上的动点，且到动直线AB:y r与CD:y=x的距离均为5，直线AB与 椭圆E相交于A,B两点，直线CD与椭圆E相交 于C,D两点，求证：|AB十|CD2为定值 68一天一题·赢在微点29 所以直线PA,PB的钟率都存在，且都不为0，分别设为， k,别kk≠0， 1.解：(1)椭圆E的左，右顶点分别为（一a,0),(a,0), 直战PA的方程为y一2=k,(x一1)，即y=k,x十2一k1 ∴（号+a)+日-5V(停-）+号，解得a=2 当x■0时，y一2一k1,即D(0,2一k,).同可得E(0,2一k), 因为线段DE的垂直平分线经过点P, 所以2-十2-=2，即k,=一k 又M(号，2)在椭圈E上日十品=1，每得份=1 由十2-~得2-26-2张，+2x十长-，+4=0 y=4r, “辅圈E的方程为号+y=1 设A(x1y),则1，x1是x-2(-2,+2)x+-4 十4=0的解，由根与系数的关系得， (2)证明：设P(x%),0为坐标原点，期x十4y=4, 五=1五=二h十兰所以男=太×-6十4+2一友 没点P到真线y红的E离为， 南。-_25 = -2所以A(作他“-2小，月是可 k R+1 ，得(5-4)k-10k+5y-4=0. 别1，k:是上述方程的两根， 得B(针钻士.去-2 1 4 由/y=kr, +y=4.释= 所以