一天一题·赢在微点28 欲证直线定点问题，结合特征方程验-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 点在微28 一天一题 欲证直线定点问题，结合特征方程验 精研一题 将y= [典例](2022·全四之卷)已知椭圆E的中心 26代入y=号-2 3 为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0,一2)， 可得T3-6,-2,6): 3 B(受-1)两点 (1)求E的方程： 由M7=T1,得H(6-2v6,-2) (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两点，过 M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H 此时直线HN的方程为y=(2+2)(x-1)+ 满足MT=Ti,证明：直线HN过定点. 25=(2+26）r-2, 常试斜藏： 3 3 则直线HN过定点(0，-2). 若过点P(1,一2)的直线的斜率存在，设此直线方 程为kx-y-(k+2)=0,M(x1,y),V(x22). kx-y-(k+2)=0, 联立得方程组 分2 1 消去y并整 理，得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0. 十x2 6k(2+k) 3k2+4 所以 12= 3k(4十k) 3k2+4 -8(2+k) 1十2= 方程很难看出该 3k2+4 直线过定点，可转 则 4(4+4k-2k2) 化为将定点代入 yIy2= 3k2+4 方程结合xy 深得一法（解题观摩） 的值验证 (1)设椭圆E的方程为mx2十y2=1, 且x1y2十2y= -21k ① 3k2+4 由A0,-2,B(受，-1)在椭圆上， y=y1, 4n=1, 联立得方程组 可得T+3)小 可得 9 31 解得m= y= 32 m+n=1. 4 由MT=TH,得H(3y1+6-x1y1). 所以稀圆E的方程为+兰-1。 4 当3y1十6一x1≠x2时， (2)证明：由A(0,-2),B(受-1)可得直线AB的 直线NH的方程为 y1一y2 y-为=3y+6--2 (x-x2）. 方程为y=号x一2 将点(0，一2)的坐标代人并整理，得2(x1十x2)一 若过点P(1,一2)的直线的斜率不存在，则其直线 6(y1+y2)+x1y2十x2y1-3y1y2一12=0.② 方程为x=1.将直线方程x=1代 不考虑直线 将①代人②，得24k十12k2+96+48k一24k一48 人号+-1 斜率是否存 -48k+24k”-36k2一48=0，显然成立 在而致误 令N1.2M1.-2 当3y1+6-x1=x2时，直线HV的斜率不存在， 若HN过点(0，-2)，则直线HV即为y轴， 65 |新高考方案系列丛书一书三用数学 此时x2=0,N(0,2),直线MN的斜率k=-4,: =最n=一器M得-得)Ho一得) 此种情况符合题意。 综上可得，直线HN过定点(0，一2). [通性通法]求解定点问题常用的方法 (1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定： 定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明 (2)“一般推理，特殊求解”.①选择一个参数建立方 程，一般将题目中给出的曲线方程（包含直线方 程)中的常数k当成变量，将变量x,y当成常数， 将原方程转化为kf(x,y)十g(x,y)）=0的形式：2.在圆x2+y2=2上任取一点D,过点D作x轴的 ②根据曲线（包合直线）过定点时与参数没有关： 垂线段DH,H为垂足，线段DH上一点E满足 系（即方程对参数的任意位都成立），得到方程： DH f(xy)=0, E用=V2.记动点E的轨迹为曲线C. 组 ③以②中方程组的解为坐标的： g(x,y)=0: (1)求曲线C的方程： 点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限： (2)设O为原点，曲线C与y轴正半轴交于点A, 制条件，可以特殊解决。 直线AP与曲线C交于点P,与x轴交于点M,直 (3)求证直线过定点(0，%)，常利用直线的点斜式： 线AQ与曲线C交于点Q,与x轴交于点N,若 方程y一y%=k(x一x0)来证明. OM·ON=一2，求证：直线PQ经过定点. 全取一类 1.巴知双曲线c号-着 =1(a>0,b>0),四点： M(4,号）M3②M(-2.-）M(2.5 中恰有三点在C上， (1D求C的方程： (2)过点(3,0)的直线I交C于P,Q两点，过点P 作直线x=1的垂线，垂足为A.证明：直线AQ过 定点 66得+)-2-y+)y-2=0. a 6 周此[云+2(1-)-2红]=4，-8+4(1-)， 别u·km-多，所以w一空，设直线AB的领针角为，：即红一2红2。 又1AF=BF,所以AB⊥M,可得OM=|OF,1=:所以x=一2，所以点C在定直线x=一2上运动 OF,|,所以直线OM的领针角为20，则OM的钟率为 一天一题·赢在微点28 2X1 3 2 tan 20 2tan a 1-tan0 1-(1) ，所以 1.解：1)