一天一题·赢在微点14 空间角问题，定义向量择优选-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

新高考方案系列丛书一书三用 数学 一天一题 赢在微点 14 空间角问题，定义向量择优选 精研一题 : 因为四边形BBVM是平行四边形， [典例]如图，在多面体ABCA1BC中， 所以四边形BB1NM是矩形，BM∥BN,所以 AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面 BM⊥MN. A1B1C1,△AB1C1为等边三 因为△ABC为等边三角形，点N是A1C的中点， 角形，A1B=BB=2,AA=3, 所以B1N⊥AC1,所以BM LA C1, CC=1,点M是AC的中点. 又因为AC1C平面AC1CA,MNC平面 (1)若点G是△A,BC G A1C1CA,AC∩MN=N, C 的重心，证明：点G在平面 所以BM⊥平面A:CCA. 又因为MC1C平面A1C1CA, BB1M内： 所以BM⊥MC, (2)求二面角B,-BM-C1的正弦值. 所以∠CMN就是所求二面角的平面角. 尝说辞： 因为C,M=√MN2+C1N2=√22+1=5， nC言号 故二面角BBMG的正弦值为写 法二空间向量法：以A,为原点，A,B所在直 线为x轴，垂直于A1B1的直 线为y轴，A1A所在直线为x 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则B1(2,0,0),B(2,0,2), G.0M292, 深得一法（解题观摩） (1)证明：取A,C,中点N,连接B,N,MN, =(-2.Mm=(-o) 如图所示. Mc=(,-2. 因为点G是△AB,C的重心， 设平面BMB1与平面BMC,的法向量分别为 所以G一定在中线B,N上， m=(x1121).n=(x2y2g）, 因为点M是AC的中点，点 3 N是A1C1的中点， 2M-21=0. 所以MN是梯形AA,C1C 由 3 √3 的中位线。 241-2y=0, 所以MN=2(AA+CC)=2=BB1: 不妨取x1=1,则m=(1,√3,0). 3 且MN∥AA,∥CC,又AA1∥BB1∥CC1, 22- 2为=0. 所以MN∥BB,所以四边形BBNM是平行四边形. 由 122+222—0。 1 因为点G∈B1N,B1NC平面BB:NM, 所以点G∈平面BBNM,即点G在平面BBM内. 不妨取x2=1,则n=(1w3,1). (2)法一几何法：因为AA1⊥平面A1BC1,AA ∥BB1∥CC1, 所以cos(m,n)= m·n_25 mn 5 所以BB1⊥平面A1B1C1. 又因为B1NC平面A:B,C,所以BB1⊥B:N, 故二面角BBMC的正弦值为 5 44 第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 [通性通法] 1,用定义法求空间角步骤 (1)找角，根据空间角的定义，直接在已知图形中找 出空间角对应的平面角或通过适当添加铺助线 作出空间角对应的平面角.如利用平面的垂线确 定直线在该平面内的射影，进而找出线面所成的 角：利用棱的垂线作出二面角的平面角 (2)证角，证明所找或所作的角就是所求的角. (3)求角，将角放在平面图形中，一般利用正弦定理、： 余弦定理或勾股定理求所找或所作的角的大小 或三角函数值. :2.四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面 2.用向量法求空间角的步骤 ABCD,底面ABCD是等腰梯形 (1)建系，根据几何体的结构特征与已知条件，找出 且AB=2,CD=1,∠ABC=60° 或作出共点的两两垂直的三条直线，建立适当的 PC=3,点M在棱PB上 空间直角坐标系。 (1)当M是棱PB的中点时， (2)求向量，求出几何体相关点的坐标、直线的方向· 求证：CM∥平面PAD: 向量、平面的法向量等。 (2)当直线CM与平面PAB所成的角最大时， (3)用公式，由向量夹角公式cos(m,n)= m·求 求二面角CAM-B的大小， m 出两个向量的夹角。 (4)巧转化，根据向量夹角与空间角的关系，将向量 夹角转化为所求的空间角， 全取一类 1.如图，PD⊥平面ABCD,AD ⊥CD,AB∥CD,PQ∥CD, AD=CD=DP=2PQ=2AB =2,点E,F,M分别为AP, D CD,BQ的中点. (1)求证：EF∥平面CPM: (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小： (3)若V为线段CQ上的点，且直线DN与平面 QPM所成的角为否，求N到平面CPM的距离. 铺45一天一题·赢在微点14 ,.CM∥DN,CM过平面PAD,DNC平 而PAD, 1.解：(1)证明：连接EM,因为AB∥CD,PQ∥CD .CM∥平而PAD. 所以AB∥PQ,又因为AB=PQ,所以四边形PABQ为平行 (2)等腰林形ABCD中，AB=2,CD=1, 四边形， ∠ABC=60°， 因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以EM∥AB且： EM-AB. 作CELAB于E,期BE=号 因为AB∥CD,CD=2AB,F为CD