一天一题·赢在微点10 球的切接问题，切点，球心是关键-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 10 球的切接问题，切点、球心是关键 精研一题 :3.(变条件，变设问)如图所示的六 [典例](1)已知四面体ABCD的四个顶点都： 面休由两个棱长为a的正四面体 在球O的球面上，△ADC是边长为2的等边三角形，； M-ABC,QABC组合而成，记正 △AIDC外接圆的圆心为O.若四面体ABCD的体积最 四面体MABC的内切球为球O, 大时，∠BAd=,则球O的半径为 正四面体QABC的内切球为球 Q 02,则002= :若在该六面体内放置一 (2)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为 个球O,则球O的体积的最大值是 矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳 深得一法 马”.现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂 1.常见几何体的内切球与外接球 直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 积为 球心到多面体各顶点的距离均相等： 尝试辞瓶： (2)正多面体的内切球和外接球的球心重合： (3)正梭锥的内切球和外接球球心都在高线上， 求外接球或内切球半径的方法：在球内部构造直 角三角形，利用勾股定理求解。 求棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的 距离相等以及棱锥的等体积法列式得出. 在正四面体中要注意以下几个重要结论：(1)棱长 为a的正网面体，其每个面的三角形的高为受。， 正四面休的高为。，外接球的半径为5。 a,内切 球的半径为停。. 2.与球相关的“切”“接”问题的处理策略 [多维变通] (1)“切”的处理：解决与球的内切问题主要是指球内 切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过 1.(变结论)本例(1)条件增加“若AB=BC=②I 3 作截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时 点E为AC的中点，且∠BED=”,则球O的表 主要抓住多面体过球心的对角而来作。 3 (2)“接”的处理：把一个多面体的几个顶点放在球面 面积为 上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓 2.(变结论)本例(2)条件不变，则内切球的球心和外 住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等 接球的球心之间的距离为 、 于球的半径. 39 新高考方案系列丛书一书三用数学 全取一类 :3.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上， PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形， 1.已知一个棱长为2的正方体玻璃容器内（不计玻 E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球 璃的厚度)放置一个正四面体，若正四面体能绕着： O的体积为 () 它的中心（即正四面体内切球的球心）任意转动，： A.8√6π B.4√6π 则正四面体棱长的最大值为 ( C.26 D.√6x :4,端午佳节，人们有包粽子和吃棕子的习俗。四川流 A.2 B26 3 行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体. 广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内 c D 部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这 2,《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解： 个蛋黄的体积为3号时，则该正四面体的高的最 堑堵，其一为阳马，一为鳖蠕，阳马居二，鳖蠕居 小值为 () A.4 B.6 一，”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑 C.8 D.10 堵、阳马，鉴需的过程.在一个长方体截得的堑堵5.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 和鳖曙中，若暂堵的内切球（与各面均相切）半径 4的正方形，平面PAB⊥平面ABCD,且△PAB 为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面 为1，则整擂体积的最小值为 积为 () A号 长方休 堵 阳马 整需 C.32x n A.2+2② :6.已知三棱锥S-AC的所有顶点都在球O的球面上， 3 B.3√3 SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB, SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9， C.2+42 3 D.23 则球O的表面积为 40整理得a.=2n一1： 当n一1时，a:=1也适合上式. (2)e。= (2m=1）·4=(2m-1):3=2n·3-3= b n(n+1) n(n+1) 馀上，a.=2m一1， 3n·3"-(n+1)3”_3"+13 (2由D知么=2中-n×(什），得 n(n十1) 2247 所以数列{C。的前n项和 5=1+2+3+…+” T.+十十e。-+。 42 =+是+++ 气-号+号-号+…+3一3 n-1十+一 313 +1T· 两式相减得5=1计+是十…十 所以工- +7-3. 一天一题·赢在微点10 精研一题 禁见释8-普数片 解析：1)设△ADC的外接园的半径为R,由题可得AC sin受 由题意对于任意正垫量，均有3m十)m≥(2m一5)(9 :2R,解得R