一天一题·赢在微点9 特定结构，需用裂项法求和-【一书三用】2024年高考数学寒假作业高三复习用书

|第二部分加练必考点一每天加训一点·赢在微点·赢在课下 一天一题 赢在微点 9 特定结构，需用裂项法求和 精研一题 所以×aX…xam1Xam [典例](2022·新课标I卷)记S为数列{4n}的 a a2 an-2 au-1 前0项和，已知4-1.侣)是公差为号的等差致列 n-2^n-1 (1)求{an}的通项公式； n(m十1D(n≥2)： (2)证明：1+1+…+1<2. a as 所以a,=n,1(n≥2》， 尝试解点： 2 又a1=1也满足上式， 岛忽略验证，=】 是否满足 所以an=(n+1 (n∈N*). 2 (2)证明：因为4，=n(n十1) 2 22-2 所以 2 看到此武翅 到梨项求和 所以1+1+…十 =2[(1-)+(合-3)+…+(n是一) (什门-21-)2<两我法不等我 [通性通法] 1.用裂项相消法解题的关键点 (1)判断结构：观察通项的结构，看它是否可以裂项， 能裂项就写出通项裂项后的表达式， (2)写出和式：按通项裂项后的表达式写出和式，看 哪些项能相互抵消 (3)化简整理：计算并整理和式，得到和式的最简结果， ：2常见数列使用裂项方法的结构 深得一法（解题观摩） 1 调为4=1.所以-1 n(n十k) 1 n(k) (k为非零常数) 又侣是公差为的等差数列 o 1 1/1 1 所以=1+m-1Dx-n 4m-12（2m-1 2m+1 an 3 3 1 所以S,=n十2 3a 利用a与5，的关系求a n+√n+k √m十√n+k 东W+k-Vn) 2" 因为当n≥2时， 2 (2”-1)(2*1-1) 2*-1 4,=S-Sn1=叶2 十1 34n 当递推公式为 (2"-1)(21-1) 3 a-1f八n)a时， 2+1- 所以”十1 把原递推公式 3am(n≥2)， 先转化为 iog（+）=log(n+1) 所以，=十1( f八以再利月 log.(1+) aw-1n-1≥2)， 黑乘法求解 (a>0,a≠1) log.n 37 新高考方案系列丛书一书三用数学 全取一类 :2.设数列(a。}的前n项和为S:a1=3,am+1=2S 1.数列{am}满足：a1十2a2十3a3十…十(n-1)am-1: +3,数列{bu}中，b1,b2一b,bg一b2·…,bm =2十(n-2)·2"(n≥2). b-1,…是首项、公差均为2的等差数列. (1)求数列(a.}的通项公式； (1)求数列{an}{bm}的通项公式： (②)设6。-(a,-1)d1-D工.为数列6，的 (2)令，=②m·4,求数列c}的前n项 前n项和，若T。<m2一3m十3恒成立，求实数m 和T 的取值范围. 38整理得a.=2n一1： 当n一1时，a:=1也适合上式. (2)e。= (2m=1）·4=(2m-1):3=2n·3-3= b n(n+1) n(n+1) 馀上，a.=2m一1， 3n·3"-(n+1)3”_3"+13 (2由D知么=2中-n×(什），得 n(n十1) 2247 所以数列{C。的前n项和 5=1+2+3+…+” T.+十十e。-+。 42 =+是+++ 气-号+号-号+…+3一3 n-1十+一 313 +1T· 两式相减得5=1计+是十…十 所以工- +7-3. 一天一题·赢在微点10 精研一题 禁见释8-普数片 解析：1)设△ADC的外接园的半径为R,由题可得AC sin受 由题意对于任意正垫量，均有3m十)m≥(2m一5)(9 :2R,解得R=2 3 S)·2板成立，别(3m+4)m≥2m53m+×, 若四面体ABCD的体积最大时，则，点B在过O和O的直径 9X4 即m>专×2”位成立. 上，且B,0在0的两侧，在△ADC中A0=R=2y 2” 3 授工=2，由T1-T-3205-70 又∠BA0=号所以B0=A0×n号=2. 2+7 2 2+1, 设球O的半径为r,则在R1△AOO中， 则当≤3时，T1一T,>0,即T+1>T: 当n≥4时，T+1-Tn<0,即T+1<T。… =(）+2-,解得r=青 于是T的最大值为T=高·将以m>号×是=立脚加可边形AC效方都：设P四备直于年面4CD 3 :由题鳶，PD=4,AB=3,从而AP=5.因 的凝小位是立 :为PD上AB,AD⊥AB,所以AB⊥平面 ADP,所以AB⊥AP,△ABP为直角三 一天一题·赢在微点9 角形.四枚锥P-ABCD的表而积S=3× 1.解：(1)当n=2时，@1=2+(2-2)·2=2， :3+3×4+3×5=36,体积V=号×3× a1+2a2+3aa十…+(n-2)a。-:+(n-1)a。-1=2+(n ：4=12,设四棱维P-ABCD的内切球半径 +2a4,平十（信-2a,十m-1Da1十a.=2:为r,则号s=V.样r=