5.5数学归纳法（分层练习，6大题型）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第三册）

5.5数学归纳法 分层练习 题型一 数学归纳法的定义 1．（2024上·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 2．（2023下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的， ”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2021·高二单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（    ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 4．（2023下·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明“对任意的，都有 ，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 题型二 数学归纳法证明等式 1．（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：若等差数列中，为首项，d为公差，则通项公式为 2．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． . 3．（2023·全国·高二课堂例题）用数学归纳法证明：当时，． 4．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：． 题型三 数学归纳法证明不等式 1．（2022·高二课时练习）设，，且，求证：. 2．（2021·全国·高二专题练习）求证：. 3．（2021·全国·高二专题练习）求证：. 4．（2019下·安徽·高二校联考期中）证明：不等式，恒成立. 题型四 数学归纳法解决整除问题 1．（2023下·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 2．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 3．（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 4．（2023·全国·高二随堂练习）能被哪些自然数整除？ 题型五 数学归纳法几何问题 1．（2021·高二课时练习）设平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设条直线的交点个数为，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的对角线的条数． 3．（2023上·高二课时练习）用数学归纳法证明：凸边形的内角和． 4．（2021·高二课时练习）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 题型六 猜想与证明 1．（2023下·高二课时练习）已知函数，设，且任意的，有. (1)求的值； (2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明. 2．（2023·全国·高二课堂例题）设，． (1)当时，计算的值； (2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想． 3．（2023上·高二课时练习）设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有． (1)求，，，，； (2)猜想的通项公式，并加以证明． 4．（2023上·高二课时练习）已知数列满足尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 1．（2022下·辽宁大连·高一大连八中校考期中）设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 2．（2022下·河南洛阳·高二校考阶段练习）设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并加以证明； (2)求数列，求的前项和． 3．（2023下·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5数学归纳法 分层练习 题型一 数学归纳法的定义 1．（2024上·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 2．（2023下·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的， ”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案. 【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立. 故选：B 3．（多选）（2021·高二单元测试）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命