专题06 竖直面内圆周运动模型---【模型与方法】2023-2024学年高一物理同步模型易点通（人教版2019必修第二册)

专题06 竖直面内圆周运动模型 一．汽车过拱（凹）形桥模型 1．汽车过拱形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力。如图甲所示。 由牛顿第二定律得：G－FN＝m，则FN＝G－m。 汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F′N＝FN＝G－m，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小。 (1)当0≤v<时，0<FN≤G。 (2)当v＝时，FN＝0. (3)当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险。 甲　　　　　　　　　乙 2．汽车过凹形桥 如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则FN－G＝m，故FN＝G＋m。由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F′N＝G＋m，大于汽车的重力。 二．竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 小球沿竖直光滑轨道内侧做圆周运动，小球在细绳作用下在竖直平面内做圆周运动，都是绳模型，如图所示。 甲　　　　　　乙 (1)向心力分析 ①小球运动到最高点时受向下的重力和向下的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，mg＋FN＝m。 ②小球运动到最低点时受向下的重力和向上的绳子拉力(或轨道弹力)作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝m。 (2)临界条件 小球恰好过最高点时，应满足弹力FN＝0，即mg＝m，可得小球在竖直面内做圆周运动的临界速度v＝。 (3)能过最高点的条件：v≥v临。 (4)不能通过最高点的条件：v＜v临，实际上小球在到达最高点之前就脱离了圆轨道，如图所示。 三．竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型 小球被一轻杆拉着在竖直平面内做圆周运动，小球在竖直放置的光滑细管内做圆周运动，都是杆模型，如图所示。 甲　　　　　　　乙 (1)向心力分析 ①小球运动到最高点时受杆(或轨道)的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力。若弹力向上：mg－FN＝m；若弹力向下：mg＋FN＝m。 ②小球运动到最低点时受杆(或轨道)向上的弹力和向下的重力作用，由这两个力的合力提供向心力，FN－mg＝m。 (2)临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v临＝0，轻杆或轨道对小球有支持力FN＝mg。 (3)当0＜v＜时，杆或内管壁对小球的支持力FN＝mg－m，支持力FN随v的增大而减小，其取值范围是0＜FN＜mg。 (4)当v＞时，杆对小球施加的是拉力，且拉力F＝m－mg；或外管壁对小球有竖直向下的压力FN＝m－mg。 【模型演练1】（2023下·北京延庆·高一统考期中）杂技表演中有一个“水流星”的节目：在一只水杯中装上水，然后让水杯在竖直平面内做圆周运动，水不会洒出来。如图所示为水流星运动的示意图，一细绳与水杯相连，杯中装有水，水杯与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m=0.5 kg，水的重心到转轴的距离L=40 cm。（g=10 m/s2） （1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率； （2）若在最高点水桶的速率v=4 m/s，求桶底对水的压力大小 【方法总结】竖直平面内圆周运动的分析方法 (1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。 (2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。 (3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。 【模型演练2】（2024·高一课时练习）长度为的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量的小球，g取。求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向。 (1)杆做匀速圆周运动的转速为； (2)杆做匀速圆周运动的转速为。 【方法总结】(1)注意r/s与rad/s的不同。 (2)先求小球受到杆的弹力，再用牛顿第三定律得出杆受小球的力。 (3)当未知力的方向不确定时，要采用假设正方向的办法。 【模型演练3】（2023下·山东日照·高一校考阶段练习）如图所示，质量m=2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，重力加速度g=10m/s2，则： （1）分析汽车以相同速率分别通过凹形桥面最低点和凸形桥面最高点时，哪种情况对桥面压力较大？ （2）汽车允许的最大速率是多少？ （3）若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？    【规律总结】对于汽车过桥问题，具体的解题步骤如下： (1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径； (2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力是按作用效果命名的力，在受力分析时不能列出，明确向心力的来源； (3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。 【模型演练4】1.（2023下·高一全国联考期中）如图甲，小球用不可伸长的轻绳连