专题9.9 特殊四边形中的折叠问题的四大题型-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题9.9 特殊四边形中的折叠问题的四大题型 【苏科版】 考卷信息： 本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对特殊四边形中的折叠问题的四大题型的理解！ 【题型1 矩形中的折叠问题】 1．（2023春·吉林长春·九年级统考期末）综合与实践 【操作感知】如图①，在矩形纸片的边上取一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、．，则的大小为 　 　度． 【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片按照【操作感知】进行折叠，并延长交于点，连接． （1）判断与的关系并证明． （2）若正方形的边长为，点为中点，则的长为 　 　． 2．（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知长方形对边平行且相等，四个角都是直角中，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．    (1)如图，当点是的中点时，求证：； (2)如图，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长 交直线于点． ①证明，并求出在条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 3．（2023春·湖南岳阳·九年级校考期中）如图，将矩形纸片折叠，使点刚好落在线段上，且折痕分别与边、相交，设折叠后点、的对应点分别为点、，折痕分别与边、相交于点、．    (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)若，，求的长． 4．（2023春·江苏南京·九年级校联考期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．    问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 5．（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）【问题背景】矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在点处．    【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点与点重合． ①当时，__________； ②若点恰好在线段上，则的长为__________； 【深入思考】 （2）若点恰好落在边上． ①如图2，过点作交于点，交于点，连接．请根据题意，补全图2并证明四边形是菱形； ②在①的条件下，当时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 6．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：    【基础回顾】 (1)在图中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 (2)改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由； (3)爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 (4)小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 7．（2023春·河南洛阳·九年级统考期末）小明尝试着将矩形纸片（如图1，）沿过点A的直线折叠，使得点B落在边上的点F处，折痕为（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在边上的点N处，点E落在上的点M处，折痕为（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在的平分线上，连接DM，且，则＝ ．    8．（2023春·浙江杭州·九年级统考期末）如图是一张矩形纸片，点E在边上，且满足 ，把沿直线折叠，使点B落在点F处，的延长线与边交于点G．若，则 ．    【题型2 菱形中的折叠问题】 1．（2023春·安徽淮南·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．    （1） ； （2）若点E是的中点，则的长为 ． 3．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将