第八章 立体几何初步（二 空间点、线、面位置关系）（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步（二）（知识归纳+题型突破） 1．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。 2．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题. 3．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力． 4．掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题． 5．平面与平面平行的判定定理的应用． 6. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角； 7. 理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直． 8. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题． 9. 能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明． 10. 掌握直线与平面平行的性质定理； 11. 能用直线与平面平行的性质定理解决相关问题； 12. 理解直线到平面的距离，两平行平面的距离定义. 13. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小． 14. 了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系． 15. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化. 16. 掌握平面与平面垂直的性质定理； 17. 运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 18. 了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系. 知识点1：异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 （3）异面直线的判定 ①定义法 ②两直线既不平行也不相交 知识点2：直线与平面平行 (1)直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： 图形语言 直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即 线线平行 线面平行 (2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 简记：线线平行 线面平行 注意：①定理中三个条件缺一不可 ②简记：线面平行，则线线平行 ③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据 ④定理的关键：寻找平面与平面的交线 知识点3：平面与平面平行的判定定理 （1）两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。） （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 线线平行面面平行 知识点4：平面与平面平行的性质定理 （1）平面与平面平行的性质定理 两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. （2）符号语言 （3）图形语言 （4）定理应用 面面平行线线平行 知识点5：异面直线所成角的概念 已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线与所成的 角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角） 知识点6：异面直线所成角的范围 由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即. 注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是. 知识点7：直线与平面垂直 （1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. （2）符号语言：对于任意，都有. （3）图形语言： （4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法. ②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 知识点8：直线与平面垂直的判定定理 （1）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 （2）符号语言：，，，， （3）图形语言：如图 知识点9：直线与平面所成角 （1）直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. （2）说明：①为斜线 ②与的交点为斜足 ③直线为在平面上的射影 ④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角 ⑤当直线与平面垂直时：；当直线