1.2 数列的函数特性6常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

1.2 数列的函数特性6种常见考法归类 课程标准 学习目标 了解数列是一种特殊函数． 了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象) 知识点01数列与函数 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(k，ak)，k＝1，2，3，…. 注：(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题． (2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合． 【即学即练1】(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值 C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列 D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列 知识点02　数列的增减性 1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an＋1>an，那么这个数列叫作递增数列． 2．递减数列：如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an＋1<an，那么这个数列叫作递减数列． 3．常数列：如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列． 注：数列增减性与函数增减性的区别 数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列． 【即学即练2】若数列是递增数列，则的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为(　　) A. B． C. D． 【即学即练4】已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是(　　) A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6) C．(－∞，－3) D． 知识点03　数列的周期性 周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． 【即学即练5】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 018＝(　　) A．－2 B．－1 C．2 D． 【即学即练6】数列 {an}满足 an＋1＝ , a8＝2，则a1 ＝________. 【即学即练7】已知数列满足，，则数列的前2023项的乘积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 题型一：根据图象判断数列的增减性 例1．（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性． (1)； (2)． 变式1．（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的． 变式2．【多选】（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）已知函数，设数列的通项公式为，则对于数列，下列说法正确的是（    ） A．该数列的图象是二次函数的图象 B．该数列是递减数列 C．该数列从第3项往后各项均为负数 D．该数列有两项为1 【方法技巧与总结】 画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋. 题型二：判断数列的增减性 例2．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023下·高二课时练习）写出数列，…的一个通项公式，并判断它的增减性． 变式2．（2023上·江苏·高二专题练习）已知数列的通项公式（），试判断该数列的增减性，并说明理由． 变式3．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中）若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2023上·高二课时练习）判断下列数列的单调性： (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】 判断数列增减性的方法 (1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势； (2)作差法：用数列的后一项