7.5多边形的内角和与外角和 复习讲义 2023-2024学年苏科版七年级数学下册

第七章 平面图形的认识（二） 7.5 多边形的内角和与外角和 【知识点】 1、三角形的内角和定理 文字描述：三角形的内角和是180° 几何语言：如图，在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 常见应用：（1）已知两个角求第三个角 （2）已知三个内角之间的数量关系求各内角 【示例】 1-1、如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于点A、B，AC⊥b，垂足为C。 若∠1=52°，则∠2的度数为 1-2、在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C的度数为 2、多边形的内角和 定理内容：n边形的内角和等于（n-2）×180° 常见应用：（1）已知一个多边形的边数，求这个多边形的内角和 （2）已知一个多边形的内角和，求这个多边形的边数 【示例】 2-1、六边形内角和的度数为 2-2、一个多边形的内角和为1800°，则这个多边形的边数为 3、多边形的外角和 ①多边形的外角概念：多边形的一边与它邻边的延长线组成的角，叫作多边形的外角，如图中的∠1、∠2、∠3. ②多边形的外角和的概念：多边形的外角和是指取多边形每个顶点处的一个外角相加的和 ③多边形的外角和定理： （1）文字描述：多边形的外角和等于360° （2）几何语言：如图，在多边形中，∠1+∠2+∠3+∠4+ ∠5+……+∠n=360° 【示例】 3-1、如图①所示为我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美，如图②所示为从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 3-2、一个多边形的每个外角都相等，且每个内角与它相邻的外角的度数比为3:1，则这个多边形是 边形。 【典例精析】 一、【运用三角形的内角和定理说理】 1、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D试说明： ∠ACD=∠B,∠A=∠BCD 二、【运用三角形的内角和定理判断三角形的形状（按角分）】 2、根据下面的条件，判断三角形的形状（按角分），并说明理由。 （1）在△ABC中，∠A=∠B=∠C； （2）在△ABC中，∠A=2∠B=3∠C 三、【运用三角形内角和定理求角的度数】 3-1、如图，在△ABC中，∠B=20°，∠ACB=110°，AE平分∠BAC，AD⊥BD于点D，求∠DAE的度数。 3-2、如图，∠A=80°，∠ABD=30°，∠ACD=35°，求∠BCD的度数。 四、【运用多边形的内角和定理计算】 4-1、如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD， 则∠P的度数是 4-2、若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，则原多边形的边数为 五、【多边形的外角和定理的应用】 5、如图，小亮从点A出发，沿直线前进10m后向左转36°，再沿直线前进10m后向左转36°……按照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走的路程为 m。 六、【利用多边形的内角和或外角和求涂色部分的面积】 6、（1）如图①，以五边形的每个顶点为圆心、1为半径画圆，则圆与五边形重合的涂色部分的面积之和为 ； （2）如图②，分别以六边形的顶点为圆心、4cm为半径画圆，则图中涂色部分的面积之和为 七、【与三角形的内角和定理相关的探究性问题】 7、认真阅读下面关于三角形性内、外角平分线的探究材料，完成所提出的问题。 探究1：图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现 ∠BOC＝90°＋∠A，理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 探究2：图2，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． 探究3：图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与 ∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明) 八、【与三角形的内角和定理相关的动态问题】 8、如图，在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O以每秒10°的速度按顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，第几秒时，边CD恰好与边AB平行？ 【同步练习】 1、在△ABC中，如果∠A-∠B=90°，那么△ABC是（ ） A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、斜三角形 2、在△ABC中，若∠C=40°，∠A：∠B=1:6，则∠A的度数为（ ）