2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．如图，直线分别与轴，轴交于点，，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一点，且的面积为． ①求点的坐标； ②点为抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，求点到抛物线的对称轴的距离． 2．如图所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)若连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒．在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)点是抛物线上位于轴上方的一点，点在轴上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 3．将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线，的解析式； (2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)求点B的坐标； (2)分别求出直线BC的解析式和抛物线的解析式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的右侧），其顶点为点，且抛物线经过点．连接交y轴于D    (1)求a，h，k的值． (2)证明：是直角三角形． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是等腰三角形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，点A在上，以A为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点．连接，，点，为动点，设运动时间为秒．    (1)填空：点A坐标为______；抛物线的解析式为______． (2)在图①中，若点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当为何值时，为直角三角形？ (3)在图②中，若点在对称轴上从点A开始向点以个单位秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，．当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 7．综合与探究 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点．      (1)请直接写出点A，B，C的坐标； (2)是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是直线上一点，是否存在点，使得以点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．      (1)求抛物线的表达式； (2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q． (1)求抛物线及直线的表达式； (2)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由． 12．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两