1.4.2三角形内角的平分线课件2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

1.4.2 三角形内角的平分线 八年级下 北师版 1. 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等” 2.会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题. 学习目标 难点 重点 三条公路两两相交，现计划在公路中间修建一个油库.要求油库到这三条公路的距离相等．请画出油库的位置. A B C 新课引入 作三角形三个内角的平分线，你发现了什么? 我们发现：三角形的三个内角的平分线交于一点. 这一点到三角形三边的距离相等. 你能证明这个结论吗？ 新知学习 做一做 证明 求证：三角形的三个内角的平分线交于一点.并且这一点到三角形三边的距离相等. 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上. P D F E M N B A C 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， 且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为 D，E， ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P. P D F E M N B A C 归纳 三角形内角的平分线的性质定理： 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 例 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为点E. （1）已知CD=4 cm，求 AC 的长； D A B E C 解：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∵AC = BC ∴∠B = ∠BAC（等边对等角） ∵∠C=90°， ∴∠B= ×90°=45°. ∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边） 在等腰直角三角形BDE中， cm . ∴AC =BC= CD + BD = D A B E C （2）证明：由（1）的求解过程可知 Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE.（全等三角形的对应边相等） ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. D A B E C （2）求证：AB=AC+CD. 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 归纳 课堂练习 1. 已知：如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB =90°， ∠B = 40°， AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点， DE⊥AB 于 E，则∠CAD = ________. 25° A C B D E 2.在△ABC中，AD垂直平分线段BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（ ） A. AB＋DB>DE B. AB＋DB<DE C. AB＋DB＝DE D. 无法判断 C 3.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC的度数为 (　　) A.120° B.125° C.130° D.140° A 4. 已知: 如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上. A B C F D E 证明： ∵ BF是∠CBD的角平分线 ∴ F到BC，AD的距离相等 ∵ CF是∠BCE的角平分线 ∴ F到BC，AE的距离相等 ∴ F到AD，AE的距离相等 从而点F在∠DAE的平分线上. 5. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D. 求证：（1）OC = OD； O C D B P E A 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥O