1.3.2三角形三边的垂直平分线课件2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

1.3.2 三角形三边的 垂直平分线 八年级下 北师版 1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质. 2. 能够运用三角形三边的垂直平分线的性质解决实际问题. 3. 能够利用尺规作已知底边及底边上的高的等腰三角形. 学习目标 难点 重点 某地准备建一所小学，要求小学的位置到村庄A，B，C的距离相等． 请画出小学的位置. 新课引入 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么? 我们发现：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等. 你能证明这个发现吗？ 新知学习 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. P A B C 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PC. 证明 证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）. 同理，PB = PC. ∴PA = PB = PC. ∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）， 即边 AC 的垂直平分线经过点 P. P A B C 归纳 三角形三边的垂直平分线的性质定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 符号语言: ∵P 为△ABC三边垂直平分线的交点 ∴PA=PC=PB A B C P 做一做 分别作下列三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形：三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形：三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形：三边的垂直平分线交点在三角形外. 探究 （1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出这个三角形吗?如果能，能画几个?所画出的三角形都全等吗? 已知：三角形的一条边a和这边上的高h 求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h 可以画出无数多个符合条件的三角形，且这些三角形不都全等. A B C D A B C D A B C （D） a h a a h h 探究 （2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 已知：线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h. a h 作法： 1.作线段BC=a，如图； 2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3.在 l 上作线段 DA，使 DA = h. 4.连接AB，AC，BE，CE， △ABC和△BEC就是所求作的三角形. C B A D E a M N h h 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧. （1）已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.　 A B m 你明白这个作法吗？ A B P m l P l 做一做 （2）如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流. A B m P l 1.求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段． 如图，已知线段a． 求作：等腰直角三角形ABC，使斜边BC=a. 课堂练习 作法：1.作线段BC=a. 2.作线段BC的垂直平分线 l ，交BC于点D. 3.在 l 上作线段DA，使DA=DB. 4.连接AB，AC. △ABC为所求作的等腰直角三角形. B A D C a 2.如图所示，有A、B、C三个村庄的位置，现决定在三个村庄之间修建一个幼儿园，使幼儿园到三个小区的距离相等，则幼儿园应建在（ ） A．在AC、BC两边高线的交点处 B．在AC、BC两边中线的交点处 C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 C A B C 3.到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的 (　　) A.三条高所在直线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 D 4.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°， 求∠PAB的度数. 解:∵P为△ABC三边垂直平分线的交点 ∴PA=PC=PB ∴∠PAC=∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30° ∠PAB=∠PBA ∴∠PAB= (180°-2×20°-2×30°)=40°. 5.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点， 且DE⊥DF. 求证：BE＋CF＞EF. 证明：如图，延长ED至点M，使DM＝ED， 连接MC，MF，则EF＝FM