1.3.1线段垂直平分线课件2023-2024学年 北师大版数学八年级下册

1.3.1 线段垂直平分线 八年级下 北师版 1. 掌握线段垂直平分线的性质和判定定理. 2.会运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题. 学习目标 难点 重点 A B 某地准备建一所小学，要求小学的位置到村庄A，B的距离相等． 小学的位置.学校应建在什么位置? 新课引入 新知学习 拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′ ， FB和FB′的关系. E F B (B′) 折痕EB=EB′ ， FB=FB′ 你能总结归纳这一结论吗？ B B′ E F 做一做 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 我们曾经利用了折纸法得到了这个性质，请你尝试证明这个结论吗？ 回顾 已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA＝PB. 证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°. ∵ AC＝BC，PC＝PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等） P A B M C N 证明 归纳 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 还记得我们学过的互逆命题吗？上面这个命题的逆命题是什么呢？ 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？ 如何证明呢？ 证明 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB. 求证：P点在AB的垂直平分线上. 点P的位置可能在线段AB上，也可能在线段AB外,即P是否与C重合 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； A B P B P A C ∵PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL) ∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上 证明：过点P作线段AB的垂线PC， （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. B P A C 我们还可以用角平分线来证明 证明：过P点作∠APB的平分线交AB于点C， ∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC， ∴△APC≌△BPC（SAS）. ∴AC=BC，∠PCA=∠PCB. 又∵∠PCA+∠PCB=180° ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∴点P在AB的垂直平分线上. 还有其他的方法来证明吗？ B P A C 证明：取AB的中点C，过点P，C作直线. ∵AP=BP，PC=PC，AC=BC， ∴△APC≌△BPC（SSS）. ∴∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°， ∴∠PCA=∠PCB=90°，即PC⊥AB. ∴点P在AB的垂直平分线上. 归纳 线段垂直平分线的判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 符号语言： 如图，∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 归纳 性质定理数学书写符号： B P A ∵　PA =PB ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 判定定理数学书写符号： ∵　点P 在AB 的垂直平分线上． ∴　PA =PB C 例 如图，在△ABC 中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 证明：∵AB=AC， ∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点O在线段BC的垂直平分线. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）. 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E， 若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为(　　) A．8 B．11 C．16 D．17 B 课堂练习 2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB垂直平分CD 　 B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 　 D．以上都不正确 A A B C D E 3.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于，连接BE，AB+BC=16cm，则△BCE的周长是 cm. 16 4.已知：如图，AB是CD的垂直平分线， E， F是AB上两点. 求证：∠ECF=∠EDF. 证明：∵AB是CD的垂直平分线， ∴EC=ED，FC=FD. 又∵EF=EF， ∴△ECF≌△EDF. ∴∠ECF=∠EDF. 5.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,EF垂直