专题7.18 多边形的内角和与外角和（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题7.18 多边形的内角和与外角和（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】多边形及其相关概念 1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n（n是大于或等于3的自然数）条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形，如三角形，四边形，五边形，·····，三角形是最简单的多边形. 2.多边形的相关概念 （1）多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边. （2）多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点. （3）多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角. （4）多边形的外角：多边形的一边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. （5）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 特别提醒：1.多边形的边数、顶点数及角的个数相等； 2.把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线. 【知识点二】正多边形 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.正多边形必须满同时满足以下两个条件：①各边都相等；②各角都相等. 【知识点三】凸多边形与凹多边形 多边形分为凸多边形和凹多边形. 如图①所示，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形成为凸多边形； 而图②就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画出CD所在的直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，所以我们称它为凹多边形. 图① 图② 我们在学习中提到的多边形大都是凸多边形. 【知识点四】多边形内角和定理 n边形的内角和等于（n-2）X180°.特别地，正n边形每个内角的度数是. 【知识点五】多边形外角和定理 1.多边形的外角和：在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和. 2.多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°. 【考点目录】 【考点1】多边形的内角和问题； 【考点2】多边形外角和问题； 【考点3】正多边形内角和问题； 【考点4】正多边形的外角和问题； 【考点5】多边形外角和的实际应用问题； 【考点6】多边形内角和与外角和综合问题. 【考点1】多边形内角和问题； 【例1】（2023·全国·八年级课堂例题）如图所示，已知六边形的每个内角都相等，连接．若，求的度数． 【答案】. 【分析】本题考查多边形的内角和定理，根据多边形内角和公式直接求解即可得到答案； 解：∵六边形的各内角都相等， ∴一个内角的度数为， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． 【变式1】（2024上·广东汕尾·八年级统考期末）下列多边形的内角和为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式：列出方程，解方程即可得出答案． 解：设多边形的边数为n， ， 解得：． 观察四个选项，B选项符合题意； 故选：B． 【变式2】（2024上·北京朝阳·八年级统考期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 【考点2】多边形外角和问题； 【例2】（2021上·陕西渭南·八年级校考阶段练习）已知、、、是如图所示六边形的外角，求的度数．    【答案】 【分析】根据多边形的外角和进行解答即可． 解：∵六边形的外角和为， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和为． 【变式1】（2023上·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考阶段练习）五边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和均为即可得出答案． 解：五边形的外角和为， 故选：B． 【变式2】（2024上·广东汕头·八年级统考期末）如图是由射线，，，，，组成的平面图形，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查多边形的外角和，结合已知条件，利用多边形的外角和