7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案 一、教学目标 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 二、教学重难点 1.教学重点:复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 2.教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 三、教学过程 前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义． 1．知识回顾 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式的加、减、乘、除是什么?复数的除法法则 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 思考1：如果把复数分别写成三角形式，你能计算并将结果表示成三角形式吗？ 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 注：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 探究1：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数相乘时，可以像图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． 思考2：你能解释和的几何意义吗？ 例3已知求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释． 练习1：计算 例4如图，向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是． 练习2：在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）． 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 探究2：数的除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 注：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 探究3：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 例5计算，并把结果化为代数形式． 练习3：计算 4．课堂小结 5．作业 习题7.3第3,4题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 导学案 一、教学目标 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 二、教学重难点 1.教学重点:复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 2.教学难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 三、教学过程 前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义． 1．知识回顾 我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式的加、减、乘、除是什么?复数的除法法则 复数的加法法则. 复数的减法法则 复数的乘法法则 复数的除法法则 2．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 思考1：如果把复数分别写成三角形式，你能计算并将结果表示成三角形式吗？ 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 即 注：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 探究1：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 两个复数相乘时，可以像图那样，先分别画出与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量表示的复数就是积．这是复数乘法的几何意义． 思考2：你能解释和的几何意义吗？ 可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到对应的向量. 可以写成，其几何意义是：将对应的向量绕点按逆时针方向旋转，得到1对应的向量. 例3已知求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释． 解： 首先作与对应的向量，然后把向量绕点按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量．即为积所对应的向量． 练习1：计算 解： 4） 例4如图，向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）． 分析：根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是． 解： 向量对应的复数为 练习2：在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）． 解：所求的复数就是3i除以一个复数的商，这个复数的模是1,辐角的主值是60,所以所求的复数是 (3一iiii)(- 3．复数除法运算的三角表示及其几何意义 探究2：数的除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 设且，因为 所以根据复数除法的定义，有 注：两个复数相除