精品解析：上海市普陀区曹杨第二中学2024届高三上学期期末数学试题

上海市曹杨二中2023学年度第一学期 高三年级期末考试数学试卷 班级________姓名________学号________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则实数________． 2. 复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为________． 3. 已知，，则在上的数量投影为________． 4. 设一组样本数据，，，方差为，则数据，，，的方差为___________. 5. 不等式的解集是__________. 6. 已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________． 7. 在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为________ 8. 已知，则_______（用数字作答）． 9. 某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为________． 10. 已知记函数的最大值为，则的取值范围是________． 11. 已知双曲线左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于A，B两点（B在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为______. 12. 已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 设，则“”是“” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 在中，，则下列说法一定正确是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，则锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 15. 若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（ ） A. 的长度 B. 的长度 C. 的长度 D. 的长度 16. 设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知在中，． （1）求； （2）设，求边上的高． 18. 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息： 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩（分数） 人数 1 2 3 4 10 （1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？ （2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为，用频率估计概率，求的分布列和期望． 19. 如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且． （1）求证：； （2）若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 20. 已知椭圆，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点与椭圆交于不同两点，. （1）已知经过椭圆的左焦点，求的方程； （2）证明：直线与直线交于点; （3）求线段长的取值范围. 21. 已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”． （1）若，判断是否为“正向数组”，并说明理由； （2）证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有； （3）已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市曹杨二中2023学年度第一学期 高三年级期末考试数学试卷 班级________姓名________学号________ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据求解即可. 【详解】， ， 解得. 故答案为：. 2. 复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数相等可得答案. 【详解】设， 因为，所以， 可得，解得， 则z的虚部. 故答案为：. 3. 已知，，则在上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用投影公式计算即可. 【详解】，， 则在上的数量投影为. 故答案为