6.1 平面向量的概念（四大题型）（讲义）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6．1平面向量的概念 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：向量的概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 知识点二：向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 知识点三：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． （3）相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 知识点四：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【典型例题】 题型一：向量的基本概念 【例1】（2024·全国·高一假期作业）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【变式1-1】（2024·安徽阜阳·高二校考阶段练习）下列命题中错误的有（    ） A．平行向量就是共线向量 B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量 C．同向，且，则 D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【变式1-2】（2023·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-4】（2024·高一课时练习）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若，则与共线.其中错误命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题． 题型二：向量的表示方法 【例2】（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【变式2-1】（2024·全国·高一随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【变式2-2】（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【方法技巧与总结】 作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点． 题型三