重难点7导数与双变量不等式的证明（真题解读+策略剖析+最新模拟）-备考2024年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

( 2024 ) ( XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI ) ( 高考数学重难点 ) ( 新 思 维 数 学 ) ( XINSIWEI ) ( 重难点7 导数与双变量不等式的证明 ) ( 统计近几年高考试题，明确命题规律 多角度切入，多方向解析，总结解题思维策略 以高考真题为载体，科学备考不走弯路 针对高考中的高频难点，精心设计，助你冲击数学巅峰 ) 重难点7导数与双变量不等式的证明 1．（2022·全国甲卷（理）·21）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 2．（2021·全国新高考Ⅰ·21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 3．（2022·浙江·22）设函数． (1)求的单调区间； (2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则； （ⅱ）若，则． （注：是自然对数的底数） 4.（2022·天津·20）已知，函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)若和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 5.（2022·北京·20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 双变量问题的关键是能进行函数的转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式，进而巧构函数，再借助于导数判断函数的单调性，从而求其最值，最终回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果。 处理导数双变量问题，要仔细分析两个变量之间的关系，在利用单调性证明不等式的过程中注意将变量统一到同一个单调区间上，防止忽略变量的范围而失分。 例1．（2021·全国新高考Ⅰ·21）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【对点练1】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数. (1)若的最小值为1，求； (2)设为两个不相等的正数，且，证明：. 例2（2022·全国甲卷（理）·21）已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【对点练1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若，求函数的最小值； (3)若有两个零点，，证明：. 【对点练2】已知函数f(x)=ln x-. (1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围; (2)设m,n>0,且m≠n,求证:<. 例3．（2022·北京·20）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【对点练1】（2024·湖北襄阳·高三校联考期中）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，. （1）讨论函数的单调性；（2）若，设， （ⅰ）求证g（x）为单调递增函数； （ⅱ）求证对任意x，x，xx，有. 【对点练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，证明不等式． 一、多选题 1．（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数与函数有相同的极小值 B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为 C．若方程有两个不同的实根，则 D．当时，若，则成立 2．（2024·海南海口·统考模拟预测）设函数，则（    ） A． B．函数有最大值 C．若，则 D．若，且，则 二、解答题 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个零点，，且，求证：． 4．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）设，为函数（）的两个零点． (1)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)证明：． 5．（2023上·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数. (1)若有唯一极值，求的取值范围； (2)当时，若，，求证：. 6．（2018全国高考I卷）已知函数f（x）x+alnx． （1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示） （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：． 7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点、，证明. 8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性： (2)若是方程的两不等实根，求证：； 9．（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)已知在上单调递增，且，求证：. 10．（2024上·天津宁河·高三统考期末）已知函数，． (1)