专题08 四边形提高训练动点问题练习2（最值问题、求取值范围和探究关系）-2023-2024学年八年级数学下册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（湘教版）

专题08 四边形提高训练动点问题练习2 （最值问题、求取值范围和探究关系） 专题目录 【类型1 利用动点求最值】 1 【类型2 利用动点求取值范围】 5 【类型3 利用动点探究关系】 9 【类型1 利用动点求最值】 1．如图，在矩形中，，，P为边上的动点，将沿折叠得到，连接，．    (1)若，求证：四边形为正方形； (2)当P在运动过程中，求的最小值； (3)当时，求的长． 2．已知如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是上一动点，连接． (1)如图1，当时，连接，延长，交于点，求证：； (2)如图2，以为直角边作等腰，，连接，若，，当点在运动过程中，求周长的最小值． 3．如图，正方形的边长是3，E为上一动点，将绕点A顺时针旋转至（点D的对应点为点B），连接． (1)如图1，当时，直接写出的长是_____________； (2)如图2，连接交于点M ①求证：M为的中点； ②直接写出的值是____________； (3)如图3，将沿翻折至，点D的对应点为点Q，延长交于点P，在点E运动过程中，的最小值是_____________． 4．【推理】如图①，在边长为8的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，延长交于点，求证：． 【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点，若点是的中点，则线段______． 【拓展】如图③，在【推理】条件下，交于点，连结，则的最小值是______． 5．如图，在中，，，，点为上一个动点，连接，以，为邻边作，连接交于点，    (1)求当长为何值时，为矩形？ (2)求当长为何值时，菱形？ (3)在点的运动过程中，线段是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知四边形为正方形，，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接，以为边作正方形，连接．    (1)如图1，当点E在对角线上移动时： ①求证：； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ③求证：点F在直线上． (2)如图2，连接，则的最小值等于_______． 7．在中，、分别是、的中点，连接、．    (1)求证：； (2)如图，当满足什么条件时，四边形是菱形，并说明理由； (3)如图，为的中点，是线段上一动点，在（2）的条件下，若，，求的最小值． 8．问题提出：在正方形中，，点是边上一动点，以为边，在的右侧作正方形，连结．    问题探究：（1）如图1，当点与点重合时，则的长为 ． （2）如图2，当时，求点到的距离和的长． 问题拓展：（3）在运动过程中，是否存在最小值，若存在请求出的最小值及的长；若不存在，请说明理由． 9．如图1，在边长为1的正方形中，平分，交于点E，过点E作于点F，延长交的延长线于点H，过点F作交于点G，连接．    (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)如图2，点M是的中点，点P是上的动点，点N是对角线上的动点，请问是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由． 10．如图，正方形的边长是．点是正方形对角线上一动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为，    (1)若，求的长； (2)请你猜想与的数量关系，并给出证明； (3)在点运动过程中，的长也随之变化，直接写出的最小值． 【类型2 利用动点求取值范围】 11．在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围． 12．如图①，在矩形中，，，点E在边上，且，动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点Q，连接．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P和点B重合时，线段的长为______； (2)当点Q和点D重合时，求的值； (3)当点P在边上运动时，如图②，求证：为定值，并求这个值； (4)作点E关于直线的对称点F，连接、，当四边形和矩形的重叠部分为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围． 13．已知正方形中，，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．      (1)当运动时间为 秒时，点P与点Q相遇； (2)当时，求线段的长度； (3)用含t的代数式表示以点Q、P、A为顶点的三角形的面积S，并指出t的取值范围； (4)连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，求t的值． 14．四边形为平行四边形． (1)将平行四边形沿对角线翻折，点A落在点处，连接，