1.1 数列的概念4种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

1.1 数列的概念4种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是一种特殊函数． 1.了解数列的相关概念．(数学抽象) 2．了解数列的函数特性、数列的通项公式．(数学抽象) 3．能根据数列的前几项写出数列的通项公式．(逻辑推理、数学建模) 知识点01数列的有关概念及表示方法 1．数列的有关概念 (1)数列：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)数列的项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的表示方法 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项． 注：（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 如：数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． (1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n. 【即学即练1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（    ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【即学即练2】下列说法：①数列，，，与，，，是相同数列；②数列，，，可表示为；③数列，，，，…的一个通项公式为；④数列，，，，…是常数列；⑤数列是严格递增数列，其中正确的是______．（填编号） 知识点02数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 注：有穷数列与无穷数列的表示方法： (1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，…. (2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾. 【即学即练3】下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，，与数列，，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 知识点03数列的表示法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：(1)数列的通项公式必须适合数列中的任意一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析