1.3.2 等比数列的前n项和（第1课时）（同步课件）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）

1.3.2 等比数列的前n项和（第一课时） 温故知新: 等差数列 等比数列 定义 通项公式 性质 Sn 实例1：小林和小明做”贷款”游戏,他们签订了一份合同.从签订合同之日起,在整整一个月(30天)中,小明第一天贷给小林1万元,第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱,第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍. 30天后,小林和小明谁得到的钱多? 实例分析 设30天后,小林得到的钱数为T30(万元),小林得到的钱数为S30(分),则根据合同 T30=1+2 +3 +4 +…+30 =465(万元) S30=1+2+22+…+229 如何计算S30呢? 思路一 S30=1+2+22+…+229 =1+2(1+2+22+…+228) =1+2(S30 -229) S30-2S30 =1-230 S30 =230-1 ① 思路二,观察①,得 S30=1+2+22+…+229 2S30=2+22+…+229+230 ③- ② ,得 S30 =230-1 ② ③ S30 =1073741823(分)= 1073.741823(万元) 土地公欲招管家一名，时值金融危机席卷全球，应聘者竞争激烈。八戒与福狄在众多应聘者中脱颖而出。但到底选谁,土地公左右为难,拿不定主意。于是…. 数学故事： “二进一”招聘会 第一分钟得1万票，第二天分钟2万票，以后每分钟所得票数都比上一分钟多一万 第一分钟得1票，第二分钟得2 票，以后每分钟所得票数是上一分钟的两倍 比赛规则：在所有神仙中进行短信投票，支持票由在评比的30分钟里每分钟所得票数累积而成 福狄所得票数 八戒所得票数 第一分钟得1万票，第二分钟得2万票，以后每分钟所得票数都比上一分钟多一万票 第一分钟得1票，第二分钟 得2 票，以后每分钟所得 票数是上一分钟的两倍 = ？ (1)Sn= 等差数列求和公式： (2) (万票) =465 请同学们考虑如何求出这个和？ ≈10.737亿票>465万票 等比数列的求和公式 一般地，设有等比数列： 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 - - + + + + = n n n q a q a q a q a q a a S K 错位相减 抽象概括 分类讨论 当 时, 当 时, ？ 即 是一个常数列 等比数列的通项公式 等比数列前n 项和公式 公式２： 公式１： 根据求和公式，运用方程思想， 五个基本量中“知三求二”. 注意对 是否等于 进行分类讨论 1．等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(　　) 巩固提升 解析：要考虑到公比为1的情况，此时Sn＝n. 答案：D 2．数列{2n－1}的前99项和为 (　　) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 答案：C 答案：1 归纳要熟记公式： 或 4. 2或-3 8或18 -6 185 知三求二 5. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1：(1)已知等比数列{an}中, a1=2,q=3.求S3; (2)求等比数列 的前10项的和. 解:(1) (2)因为公比 例2：五洲电扇厂去年实现利税300万元,计划在以后5年中每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是多少?这5年的总利税是多少(结果精确到万元)? 解 每年的利税组成一个首项a1=300,公比q=1+10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为 这5年的总利税为 例3 一个热气球在第一分上升了25m的高度,在以后的每一分里,它上升的高度都是它在前一分上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗? 解 用an表示热气球在第n分上升的高度,由题意,得 所以数列{an}是首项 公比 的等比数列 热气球在n分时间里上升的总高度 答 这个热气球上升的高度不可能超过125m 例4 ：如图,作边长为a的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前n个内切圆的面积和. 解 设第n个正三角形的内切圆的半径为an. 因为从第2个正三角形开始,每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的 故 ,每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的 所以数列{an}是首项为 ，公比为 的等比数列 所以 设前n个内切圆的面积和为Sn,则 答 前n个