专题13 余弦定理、正弦定理的应用（5大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题13 余弦定理、正弦定理的应用 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 实际测量中的有关名称、术语 1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 知识点2 利用解三角形解决实际问题 1、测量距离问题解决办法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、测量高度问题三个注意事项 （1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． （2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3、测量角度问题三个注意事项 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 4、利用解三角形解决实际问题的方法步骤 （1）解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 （2）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 ①分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 · 考点剖析 考点1 测量距离问题 【例1】（2023·广东东莞·高一东莞市厚街中学校考阶段练习）如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，则两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·全国·高一假期作业）如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式1-2】（2023·上海·高一课时练习）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为 m．    【变式1-3】（2023·浙江嘉兴·高一校考期中）为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里. （1）求的长度； （2）求，之间的距离. 考点2 测量高度问题 【例2】（2023·全国·高一专题练习）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ） A．74m B．60m C．52m D．91m 【变式2-1】（2023·江苏南京·高一校联考阶段练习）如图，小明欲测校内某旗杆高MN，选择地面A处和他所在教学楼四楼C处为测量观测点（其中A处、他所在的教学楼、旗杆位于同一水平地面）．从A点