2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与面积 1．综合与实践： 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； (3)小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接，存在，请帮助小明求出时点D的坐标． 2．如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t， ①是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． ②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接，交于，直接写出当与相似时，点P的坐标． 3．如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点C到的距离米，，点D，E在抛物线一部分上，以所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．    (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为m米，试求内接矩形的面积S．（用含m的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米2，广告牌其余部分的价格为160元/米2，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 4．抛物线交x轴于A，B两点，C是第一象限抛物线上一点，直线交y轴于点P．    (1)求抛物线解析式； (2)如图1，当时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接与直线交于点N．设和的面积分别为和，求的最大值． (3)如图2，直线交抛物线于另一点E，连接交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值． 5．已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 6．综合与探究 抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标． (2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标． (3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，当存在时，求，运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？ (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在下方的抛物线上存在一点，使？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 8．平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为，，相交于点，过点作轴于点，连接交于点．    (1)点的坐标是______； (2)如图，求面积与面积的比值； (3)在轴上有两点，，过点作轴的平行线交直线于点，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点，．若抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而增大，且抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而减小，求的取值范围． 9．如图，已知抛物线经过、和三点，其顶点为E，直线轴，且在第一象限内与抛物线相交于点P，与线段交于点Q．      (1)求该抛物线的表达式； (2)直线m将的面积分成两部分，当，求点P的坐标； (3)当时，求点P的坐标． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．    (1)求二次函数的解析式； (2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标； (3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．已知：抛物线经过，，．    (1)求抛物线解析式． (2)在线段下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时， 求：点坐标及面积最大值． (3)如图2，直线交轴于点，取点，取线段的中点，以原点为圆心，长为半径做，点是上的动点，