福建省莆田市莆田第一中学2023-2024学年高三上学期第一次调研数学试卷

福建省莆田一中2024届高三第一次调研 数学 本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若一组数据的75百分位数是6，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．三个数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 8．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每题在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．没有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 10．，和是方程的两个根，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是线段上的动点，点与点关于直线对称．则下列结论正确的是（    ）    A．当时，点的坐标为 B．的最大值为4 C．当点在直线上时，直线的方程为 D．正弦的最大值为 12．如图所示的六面体中，，，两两垂直，连线经过三角形的重心，且，则（    ） A．若，则平面 B．若，则平面 C．若五点均在同一球面上，则 D．若点恰为三棱锥外接球的球心，则 三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分） 13．由数据(1,2),(3,4),(2,2),(4,4),(5,6),(3,3.6)得出的线性回归方程y=a+bx必经过的定点是以上点中的 . 14．已知数列满足，则的通项公式 . 15．已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 16．函数，函数若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本题10分）已知分别为的内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为2，求. 18．（本题12分）设正项数列的前n项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 19．（本题12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； 20．（本题12分）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.    (1)求的值 (2)求、的值 (3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案： 方案一：奖励现金红包元. 方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）. 求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由. 附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数. 方案二奖励 元 元 元 概率 21．（本题12分）已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由． 22．（本题12分）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．C 【详解】设容器的高为，则容器底面正三角形的边长为， 则三棱柱形容器容积， 求导得， 当时，，单调递增；当时，，单