18.2.3 正方形 课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

正方形 1．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 2．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识概述 1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．四边相等 B．四角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 练一练 2．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝3，则AB的长为（　　） A．2 B．3 C． D．3 D 练一练 3．如图，正方形ABCD的边长为6，以CD为一边作等边三角形△DCE，点E在正方形内部，则点E到CD的距离是（　　） A．6 B．3 C．2 D．2 B 练一练 4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° C 练一练 5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　） A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当∠ABC＝90°时，它是矩形 C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当AC＝BD时，它是正方形 D 练一练 6．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D 练一练 7．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④ B 练一练 8．下列命题正确的是（　　） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 D 练一练 典例分析 例1、如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE. （1）求证：AF＝BE； 证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE； 典例分析 例1、（2）如图②，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？并说明理由. 解：MP与NQ相等． 理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形， ∴AF=PM，BE=NQ， ∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中，， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE； ∴MP=NQ． 典例分析 例2、如图所示，在正方形ABCD中，M为AB上任意一点，MN丄DM，BN平分∠CBE，试说明：MD=MN． 解：在AD上取一点P，使DP=BM，连接PM， 由题可知：AB=AD； ∴AM=AP； ∴∠AMP=∠APM=45°； ∴∠DPM=135°； 而BN平分∠CBE， ∴∠NBE=45°； ∴∠MBN=135°； ∵MN⊥MD， ∴∠ADM+∠AMD=∠NMB+∠AMD=90°， ∴∠ADM=∠NMB，即∠MDP=∠NMB． 在△MPD与△NBM中，， ∴△MPD≌△NBM（ASA）， ∴MD=MN． 证明：连接MC. 易证△AMD≌△CMD（SAS） ∴MA=MC 又∵∠ABN=∠AMN=90°， ∴∠MNC=∠MAB， ∵∠MCN=∠MAB ， ∴∠MNC=∠MCN， ∴MN=MC， ∴MA=MN. 典例分析 例3、正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N,连AN、QN．求证：