空间向量及其应用（二）复习导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高二《数学》导学案 编制： 审核： 时间： §空间向量及其应用（二） 1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题. 2．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面和简单夹角问题. 1．利用空间向量法求距离问题 (1)点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. (3)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. (4)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (5) 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. 2.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 a与b的夹角φ l1与l2所成的角θ 图 示 范围 (0，π) 求法 cos φ＝ cos θ＝|cos φ|＝ 3.求直线与平面所成的角 设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ ， 则不管哪种情况，都有sin θ＝|cos φ|＝|cos〈a，n〉|＝. 3.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉,即.〈，〉= (2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ 满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角). 求法：设平面与平面的法向量分别为，再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或，则. 题型一 利用空间向量求空间距离 角度1：点线距 1．已知，，，则点到直线的距离为 . 2．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A． B． C． D． 名师点拨　☞用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确． 角度2：点面距 3． 如图所示，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为 ． 4． 若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 名师点拨　☞求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中用等体积法求解． (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段) 角度3 面面距 5．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为 A． B． C． D． 名师点拨　☞求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主 题型二 利用空间向量求线线角 7．在长方体中，，，设的中点为，则与所成的角为 . 8．已知异面直线m，n的方向向量分别为＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则 λ的值为 ． 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长. 名师点拨　☞1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤． (1)建立适当的空间直角坐标系． (2)求出两条异面直线的方向向量的坐标． (3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角． (4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 2.求两条异面直线所成的角的两个关注点． (1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． (2)范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值 题型