直线与双曲线的位置关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

双曲线的简单几何性质 （直线与双曲线的位置关系） 方程 图形 顶点 焦点 abc关系 范围 离心率 渐近线 (±a , 0 ) (±c , 0 ) ( 0, ±a ) ( 0, ±c ) | x | ≥ a | y | ≥ a 直线与 椭 圆 位置关系的判断 第一步：联立方程组； 第二步：消去方程组中的一个变量（ x或y）； 第三步：用判别式判断解的个数； 如何判断直线与双曲线的位置关系？ 直线与双曲线的位置关系 1、相离：没有交点 2、相切：一个交点 3、相交： （1）一个交点 （2）两个交点 没有交点？ < 此时直线与渐近线有何关系？ 与渐近线平行 判断直线与双曲线位置关系的基本步骤 把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交（一个交点） >0 =0 <0 相交 相切 相离 相交 相切 二次项系数为0 二次项系数不为0 计 算 判 别 式 如果直线 以下条件，请分别求出 与双曲线 的取值范围。 满足 ①有两个公共点 ②没有公共点 ③与右支有两个公共点 ④与左、右两支各有一个公共点 探究： 解题归纳 根据直线与双曲线公共点的个数，求直线斜率k的取值范围的方法： 1. 代数方法：有2个或无公共点时，根据联立后的一元二次方程的判别式或根的分布来判断；有1个公共点时，考虑一元二次方程的二次项系数为零和判别式等于零两种情况。 2. 几何方法：数形结合，求出渐近线和切线斜率，观察直线绕定点旋转时与双曲线位置关系，从而确定k的取值范围。 例2： 过定点P(0,-1)的直线与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）条。 过定点P(2,1)的直线与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）条。 变式1 4 4 变式2 过定点P(3,1)的直线与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）条。 2 过定点P(1,1)的直线与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）条。 2 变式3 归纳：过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线的条数——数形结合，相切或与渐近线平行。 变式4 3 过定点 的直线与双曲线 仅有一个公共点的直线有（ ）条。 过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线条数，与这个定点的位置有关： (1)当点在渐近线上时有0条或2条(为中心时有0条，其余有2条)； (2)当点在双曲线上时有3条； 　(3)当点在双曲线内部时有2条； 　(4)其余均为4条。 解题归纳 例3 经过双曲线 的右焦点 作倾斜角为30°的直线交该双曲线于A，B两点，求 的周长。（ 为双曲线的左焦点） 分析： 的周长= 弦长公式 焦半径 （第二定义转化） 求直线与双曲线相交弦长的方法： 1. 利用弦长公式 和根与系数关系求弦长 2. 若直线过焦点，可利用第二定义，将弦长转化为焦半径之和或之差，注意区分两种情形: ①如果两点在同一支上，则 ②如果两点分别在两支上，则 解题归纳 $$