2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 二次函数--矩形和正方形专项训练

2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--矩形和正方形专项训练（学生版） 目标层级图 课中讲解 一. 矩形的存在性问题 内容讲解 例题：抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是对称轴上一点，点Q为平面内任意一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由。 类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况： 1 定线段AC为边 ②定线段AC为对角线。 由矩形的性质可知，矩形的四个角都是直角，结合这一特性，可以考虑使用“两线一圆”（参考直角三角形存在性问题）的构图方式，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。 1. 当AC为边时，利用“两线”构图方式准确确定点P位置，此时图形中出现“斜直角”，可考虑“改斜归正”，构造相似，利用相似三角形性质转换线段OA、OC长，得出点P坐标，进而利用平移得出点Q坐标；（这里还有其它解决办法，不再叙述，请思考） 2. 当AC为对角线时，利用“一圆”构图方式准确确定点P位置，图形之中仍有“斜直角”的存在，利用“改斜归正”的方法构造相似，结合相似三角形的性质，把A、C、P三点坐标转化线段长并建立方程，然后解方程可得点P坐标，再次利用点的平移求出点Q坐标。 矩形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两线一圆”构图，然后设计求解方案。 题型一：固定一条边，设点坐标和K型相似列方程 例1．如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，． （1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 过关检测 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． （1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）； （2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值； （3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，以点P、B、D、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由； 题型二：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件 例2.已知抛物线经过点，顶点为，对称轴是直线． （1）求抛物线的函数表达式和顶点的坐标； （2）如图1，抛物线与轴交于点，连接，过作轴于点，是线段上的动点（点不与，两点重合）； 若直线将四边形分成面积比为的两部分，求点的坐标； 如图2，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 过关检测 1.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． （1）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式； （2）在（1）的情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标； （3）在（1）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成平行四边形时，求点的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标． 题型三：矩形相关的代数问题 例3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值； 过关检测 1.如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． （1）求的值和抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且点的横坐标为．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值. 二．正方形存在性问题 由于正方形比较特殊，其中相等的角、边太多，所以解决有关正方形的题目，多采用几何论证方法，最主要围