24.4弧长和扇形面积讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

圆的相关计算 【学习目标】 1、掌握扇形的弧长计算 2、掌握扇形的面积计算 3、掌握圆锥的侧面积计算 【知识梳理】 扇形的概念：由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 围成的图形是扇形。 扇形的弧长与圆的周长关系： （1）圆心角是180°，它占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； （2）圆心角是90°，它占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； （3）圆心角是45°，它占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； （4）圆心角是1°，它占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ； （5）圆心角是n°，它占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 扇形弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 注意： （1）在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． （2）若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． （3）题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． （4）正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 若半径为R，则圆的面积为 ； 圆心角是1°的扇形面积为 ； 圆心角是n°的扇形面积 ； 　扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形=或S扇形=（其中l为扇形的弧长） 其中，知道圆心角时通常选用第一条，知道弧长通常选用第二条公式 圆锥的概念： （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 ．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的 ． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的 ，扇形的半径等于圆锥的 ． （3）圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间间的关系： 圆锥相关的计算公式： （1）圆锥的侧面积：S侧=•2πr•l=πrl． （2）圆锥的全面积：S全=S底+S侧=πr2+πrl （3）圆锥的体积=×底面积×高 【题型一】扇形弧长 【经典例题】如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置．若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　） A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm 【变式训练1】如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度为　 　． 【变式训练2】如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　） A． B．13π C．25π D． 【变式训练3】如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　． 【题型二】扇形面积 【经典例题1】如图，AB为半圆的直径，其AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π B．2π C． D．4π 【变式训练1】如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（　　） A． B．（）π C． D．π 【变式训练2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【经典例题2】如图，某数学兴趣小组将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为（　　） A．12 B．14 C．16