24.1.3弧、弦、圆心角及圆周角的关系讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

弦、弧、圆心角及圆周角的关系 【学习目标】 1、理解圆心角的概念 2、理解并掌握弦、弧及圆心角三者的关系 3、掌握圆周角定理 【知识梳理】 圆心角概念 圆心角是指在圆O中，过弧AB两端的半径构成的∠AOB， 称为 所对的圆心角 性质：（1）顶点在 上；（2）两边都与 相交 注意：圆心角必须能明确指出是那段弧所对应的，否则就算顶点在圆心上，我们也不能称之为圆心角 弧的概念：圆周上任意两点间的 ，叫做圆弧 弦的概念：圆周上任意两点间的 ，叫做弦 弦与弧的关系：（1）同弧所对的弦 ；（2）同弦所对的 或者 相等 注意：弦与弧的关系，只适用于同圆或等圆中 圆心角定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________． 推论 同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． 圆周角定义：顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． 圆周角相关定理： (1)圆心角的度数等于它所对的______的度数． (2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半． (3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________． 圆周角定理推论： 半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________． 弦所对的圆周角：等圆中同弦所对的圆周角有 种类型，而且大小相加为 ，即两种圆周角是 关系 圆内接四边形定义 四边形四个顶点都在圆周上面，称为圆内接四边形或者四边形外接圆 圆内接四边形的性质 ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 【题型一】圆心角定理 【经典例题1】如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（　　） A．51° B．56° C．68° D．78° 【变式训练1】如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（　　） A．90° B．100° C．108° D．120° 【变式训练2】如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【变式训练3】如图，⊙O中，AB是直径，弦CD交AB于E点，且CE=OE，若的度数为30°，求的度数． 【经典例题2】如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证：． 【变式训练1】如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：． 【变式训练2】如图，在⊙O中，点C为的中点，AD=BE，求证：CD=CE． 【变式训练3】如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD． 考点二：圆周角定理 【经典例题1】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（　　） A．55° B．60° C．65° D．70° 【变式训练1】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（　　） A．23° B．57° C．67° D．77° 【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．70° 【变式训练3】如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 【经典例题2