第23章 旋转 复习讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

旋 转 【学习目标】 1、掌握旋转的基本性质 2、掌握旋转的常见证明 【知识梳理】 旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做 图形． 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离 ． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ． （3）旋转前、后的图形 ． 旋转三要素：1）旋转中心； 2）旋转方向； 3）旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标，P（x，y）⇒P（ ， ） （2）旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 等量代换：是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。 若A=B，则A+C=B+C 【题型一】旋转的性质 【经典例题1】如图是一个旋转对称图形，以O为旋转中心，以下列哪一个角为旋转角旋转，能使旋转后的图形与原图形重合（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 【变式训练1】如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（　　） A．72° B．108° C．144° D．216° 【变式训练2】如图所示，正五角星绕其中心旋转后能与自身重合，则旋转的角度可以是（　　） A．75° B．120° C．144° D．210° 【变式训练3】观察图中的图案，它们绕各自的中心旋转一定的角度后，能与自身重合，其中旋转角可以为120°的是（　　） A． B． C． D． 【经典例题2】已知A（4，1），B（5，4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得线段AC，则点C的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，1） C．（7，0） D．（1，3） 【变式训练1】如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 【变式训练2】如图，△AOB是等腰三角形，顶点A的坐标为（2，），底边OB在x轴上，将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后的△A'O'B'，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式训练3】把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A． B．6 C． D． 【题型二】旋转的证明 【经典例题】某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由． 【变式训练1】如图1，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转． （1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N．（1）证明DM=DN；（2）在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积； （2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【变式训练2】已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明； （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和