22.1 二次函数的解析式 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

二次函数的解析式 【学习目标】 1．掌握二次函数常见的三种解析式 2．掌握待定系数法求解析式 3．掌握二次函数图象的平移与解析式的关系 【知识梳理】 二次函数三种形式 二次函数的一般式： ，需要 个坐标作为已知条件 二次函数的顶点式： ，需要 个坐标作为已知条件，其中有1个是 坐标 二次函数的交点式： ，需要 个坐标作为已知条件，其中有2个是 坐标 二次函数平移解析式变化的口诀： 加 减， 加 减，前提二次函数是 形式． 二次函数平移性质：二次函数y=a(x-h)2+k，向右平移n个单位，向上平移m个单位后，对称轴为 ，顶点坐标为 ． 注意：二次函数y1向右平移n个单位，向上平移m个单位得到二次函数y2，反过来可以说成二次函数y2向 平移n个单位，向 平移m个单位得到二次函数y1． 【题型一】待定系数法 【经典例题1】如图：抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD， （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求点P移到x轴上时，求S? 【变式训练1】抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（4，0），顶点M在直线y=﹣2x+8上，求抛物线的解析式． 【变式训练2】已知：抛物线的顶点A在直线y=2x上，抛物线过原点O，且与x轴的另一个交点为B，OB=4，求该抛物线的解析式． 【变式训练3】如图，二次函数的图像与轴交于点,点是关于该二次函数图像的对称轴对称的点.已知一次函数的图像经过该二次函数图像上的点. （1） 求二次函数与一次函数的解析式. （2） 根据图像，写出满足的的取值范围. 【经典例题2】如图已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，﹣5） （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积； （3）若P是抛物线上一点且S△ABP=S△ABC这样的P有几个？请直接写出它们的坐标． 【变式训练1】如图，函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=1，请直接写出点P的坐标． 【变式训练2】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当0＜x＜3时，求y的取值范围； （3）点P为抛物线上一点，若S△PAB=10，求出此时点P的坐标． 【经典例题3】已知二次函数图象与x轴的两个交点A、B的坐标分别为（1，0），（﹣5，0），抛物线顶点为C．若△ABC的面积为12，求该二次函数的表达式． 【变式训练1】已知抛物线的顶点为C（1，5），与x轴相交于A、B，且△ABC的面积为15，求该抛物线的解析式． 【变式训练2】某抛物线的对称轴为x=4，与x轴的两个交点A、B间的距离为2，抛物线与y轴的交点为C，若S△ABC=10，求此抛物线的解析式． 【变式训练3】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式． 【题型二】二次函数图象平移 【经典例题1】如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣4，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式训练1】如图，将抛物线平移后经过原点O和点A（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛物线相交于点C，则图中直线BC与两条抛物线围成的阴影部分的面积为（　　） A． B．12 C． D．15 【变式训练2】矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　） A．y=x2+8x+14 B．y=x2﹣8x+14 C．y=x2+4x+3 D．y=x2﹣4x+3 【经典例题2】已知二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到二次函数y=x2﹣8x+10． （1）求b、c的值； （2）若第（1）小题中的函