湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高三上学期第一次调研数学试卷

株洲市第二中学2024届高三第一次调研 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数在区间上的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．已知，，，，若，则的值为（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．正四棱锥的底面边长为，则平面截四棱锥外接球所得截面的面积为（    ）. A． B． C． D． 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 10．某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与不相互独立 D．与不相互独立 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，是线段上的动点，点与点关于直线对称．则下列结论正确的是（    ）    A．当时，点的坐标为 B．的最大值为4 C．当点在直线上时，直线的方程为 D．正弦的最大值为 12．已知定义在上的连续函数，其导函数为，且，函数为奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中各项系数之和为64，则的展开式中常数项为 ． 14．数列 满足，则 . 15．已知空间直角坐标系中，正四面体的棱长为2，点，，，则的取值范围为 ． 16．已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，且的周长为，求的面积． 18．（本题12分）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 19．（本题12分）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 20．（本题12分）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检､体检鉴定､飞行职业心理学检测､背景调查､高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲､乙､丙三人报名民航招飞. (1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率； (2)求甲､乙､丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率； (3)根据甲､乙､丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲､乙､丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望. 21．（本题12分）已知点，动点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)若轨迹的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值. 22．（本题12分）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 【详解】因为，整理得，且， 可知是以首项为3，公差为1的等差数列， 所以，可得， 当时，可得， 且符合上式，所以， 则， 解得，即的最大值为8． 故选：B． 6．D 【详解】设，则由，得到， 整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点， 又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得， 故选：D. 7．C 【详解】设正方形边长为，底面中心为中点为， 连接，如图所示， 由题意得，且正四