精品解析：四川省凉山州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试卷

凉山州2023-2024学年度上期期末检测试卷 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. “牛角栱”是凉山彝族民房檐枋装饰艺术中的重要特色之一，如图，已知牛角栱外侧弧线部分为抛物线的一部分，宽度，高度，根据图中的坐标系，则这条抛物线方程为（ ） A B. C. D. 3. 等差数列中，，，则的值为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 4. 经过两条直线和交点，且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不大于10的素数中，选两个不同的数，和为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（ ） A B. C. D. 8. 空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若向量，，，则，，共面 B. 已知平面，不重合，平面和平面的一个法向量均为，则 C. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D. 若向量，，则在上的投影向量为 10. 已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 点与平面的距离为 C. 平面与平面所成角为 D. 直线与平面所成的角为 11. 已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 12. 我们把离心率为的双曲线叫做理想双曲线，若双曲线是理想双曲线，左右顶点分别为，，虚轴㟨点为，，右焦点为，离心率为，则（ ） A. 当时， B. 当时，则到渐近线的距离为 C. D. 的外接圆的面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．） 13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 14. 已知点，，，则点到直线的距离为______． 15. 记为等差数列的前项和，公差不为0，若，则______． 16. 过抛物线的焦点作圆的两条切线，切点分别为，，若为等边三角形，则的值为______． 三、解答题（本大题共6小题、共计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算过程） 17. 已知直线． （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 18. 为参加凉山州第八届“学宪法讲宪法”演讲比赛，某校组织选拔活动，通过两轮比赛最终决定参加州级比赛人选，已知甲同学晋级第二轮的概率为，乙同学晋级第二轮的概率为．若甲、乙能进入第二轮，在第二轮比赛中甲、乙两人能胜出的概率均为．假设甲、乙第一轮是否晋级和在第二轮中能否胜出互不影响． （1）若甲、乙有且只有一人能晋级第二轮概率为，求的值； （2）在（1）的条件下，求甲、乙两人中有且只有一人能参加州级比赛的概率． 19. 三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 20. 已知数列中，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 21. 如图为直三棱柱，，，设为的中点． （1）证明； （2）求二面角的正弦值． 22. 已知椭圆的离心率是，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 凉山州2023-2024学年度上期期末检测试卷 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】直线方程可化为：，故直线的一个方向向量为：，因为，所以D对. 故选：D 2. “牛角