1.1 有理数与无理数集讲义-2024年高中数学竞赛

第一章 集合与简易逻辑 集合与简易逻辑是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础．它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多内容如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换和推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具． 集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一．高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上． 本章的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想却很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等． 总之，集合与简易逻辑是高考或数学竞赛中考查基础、能力和进一步学习潜力的很好的命题材料． 1.1 有理数与无理数集 在中学数学里首先接触的是有理数，然后是无理数，再后来学习复数，有理数与无理数统称为实数．一个数为有理数，则这个数一定可以表示为既约分数形式为互素的整数，反之（为互素的整数）这个形式表示的数一定为有理数．有理数的一条重要性质是有理数的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数． 例1． 证明不是有理数． 例2．是不是有理数的方根? 例3．对于有理数，若有，则有． 例4．设为有理数，是有理系数方程的根，求证也是方程0的根． 例5．是否存在实数使与均为有理数? 例6．求函数的最大值和最小值． 例7．已知是实数，的最小值． 例8．求函数的值城． 例9．求函数的最大值和最小值． 例10．求的值域． 例11．求函数的最小值． 赛题训练 1． 计算的值． 2． 求所有的有序三元数组满足且都是整数． 3．证明：对任意正整数，必可以表示成的形式． 4．(2010年全国高中数学联赛)已知函数，则的值域为_______． 5．求的最大值． 6．求的最小值． 7．求函数的值域． 8．求函数的最值． 9．求的值域． 10．求函数的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 有理数与无理数集 参考答案 例1．【证明】反证法，假设为有理数，则存在互素整数使得为偶数，令则为偶数，这样至少有公因子，矛盾．所以不是有理数． 例2．【解】假设是某个有理数的次方根，即是有理数，于是是有理数，那么是有理数． 而用二项式展开，矛盾． 【评注】为有理数的充分必要条件是同时为有理数为有理数的方根的充分必要条件是为有理数． 例3．【证明】若，则是有理系数二次方程的根，用对作带余除法得商和余式，， 将代入得但为有理数， 由知，整除 注意是有理系数一次多项式，有唯一的有理数，应是零点． 即这不可能，故，再由知必须 【评注】例3的推广有：若是以代数数为根的最低次数的有理系数方程，是以为根的任一有理系数方程，则整除，所有零点都是的根．所谓代数数就是某个有理系数代数方程的根． 例4．【证明】是有理系数方程的根．注意是有理系数二次方程的根，作带余除法，用去除，设所得的商与余式分别为，，则 将分别代入此等式两边得注意，而且作带余除法时只对被除式和除式的系数(它们都是有理数)施行加、减、乘、除运算，因此商式和余式的系数也是有理数，即是有理数．，如果，则为有理数，矛盾．故，，即整除，的另一个零点也是的零点，即是的根． 【评注】此例题，若是有理系数方程的根，则与也是的根，即被整除． 例5．【解】假设，为有理数，则存在整数使得，，即 所以有，于是，从而 由得，即得矛盾．所以不存在符合条件的实数． 下面举几个处理根号问题的例子． 例6．【解】注意到函数的定义域为． 由 知当时，上式等号成立．故的最小值为．由柯西不等式，， 有 ，从而 又由柯西不等式等号成立的条件是求得故当时，上述不等式中等号成立．因此，的最大值为 例7．【解法一】∵ 当时，没有最大值和最小值；当时，也没有最大值和最小值． 当和时，的值分别为，． 当时，由不等式可得： 因为，所以的最小值为 【解法二】原式化为， 即求轴上动点到两定点，距离之和的最小值，点关于轴的对称点为，则，所以的最小值为． 例8．【解】已知． 因为，令，，． 所以 因为，所以，则， 故函数的值域为 例9．【解】令，则有，令，两边平方后，化简整理得 如图，表示对称轴为，开口向上的抛物线；表示椭圆在轴上方的部分． 当过点时；当过点和时，．由于有公共点，从而可知函数的最大值为，最小值为． 例10．【解】由的判别式，得函数定义域为．令， 则双曲线方程，令，双曲线渐近线斜率为，直线系斜率为1，如图 当切线截距为时，截距取得最小值，此时即． 例11．【解】令，，则，即 从而，有，其中由决定． 由，即得的最小值为，此时， ，