预习01 导数的概念及其意义（六大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习01导数的概念及其意义 一、平均速度与瞬时速度 （1）平均速度：一般地,在这段时间里,物体的平均速度 （2）瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.物体在某一时刻的瞬时速度为当时间间隔无限趋近于0时平均速度的极限,即 二、割线的斜率和切线的斜率 （1）割线的斜率：如图所示，平均变化率表示割线的斜率. （2）切线与切线的斜率 ①曲线的切线：如图所示，在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线. ②切线的斜率：曲线在某一点处切线的斜率,即当横坐标间隔无限趋近于0时,割线斜率的极限,即. 三、导数 （1）平均变化率：把比值,即叫做函数从到的平均变化率. （2）导数的概念：如果当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率),记作或,即. （3）导数的几何意义：函数在处的导数,就是切线的斜率,即. （4）导函数 当时,是一个唯一确定的数,当变化时,是的函数,称它为的导函数(简称导数),的导函数有时也记作,即. 说明:①平均变化率与瞬时变化率的区别:平均变化率刻画函数值在区间上变化快慢,瞬时变化率刻画函数值在处变化的快慢. ②平均变化率与瞬时变化率的联系:当趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数为函数在处的瞬时变化率,它是一个固定值. 四、求切线方程 1.求曲线“在”点处的切线方程： 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2.求曲线“过”点处的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 考点01平均变化率 【方法点拨】（1）求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的变化量;第二步,求函数值的变化量; 第三步,求平均变化率. （2）求点附近的平均变化率,可用的形式. 【例1】已知某物体运动的位移s是时间t的函数，且. (1)求这个物体t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求这个物体t从3秒到3.01秒的平均速度. 【例2】下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数，当自变量由改变到时，的变化为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ． 【变式1-3】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 (单位：)与起跳后的时间 (单位：)之间的函数关系式为. (1)求运动员在第一个内的平均速度； (2)求运动员在这段时间内的平均速度. 考点02瞬时变化率 【方法点拨】求瞬时速度的步骤：（1）求位移增量,;（2）求平均速度,; （3）取极限,;（4）若极限存在,则时刻的瞬时速度为. 【例3】某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率 C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度 【例4】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位m）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系．该运动员在s时的瞬时速度（单位：）为（    ） A．10.9 B．0.1 C．6 D．5 【变式2-1】枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 ，枪弹从枪口射出时所用的时间为s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度. 【变式2-2】物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【变式2-3】某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：    ①在时高度关于时间的瞬时变化率为； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； ④设在和时该运动员的瞬时速度分别为和，则． 其中所有正确结论的序号是 ． 考点03导数的概念 【方法点拨】（1）在导数的概念中,增量的形式是多种多样的,但无论是哪种形式,分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致,常见的形式还有: 【例5】已知函数在处的导数为，则（    ） A． B． C． D． 【例6】用导数的定义求函数的导数． 【变式3-1】若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式3-2】设，则（    ） A． B． C．3 D．12 【变式3-3】设函数，若，则 ． 考点04利用导数的定义求切线斜率 【方法点拨】用导数定义求函数在某一点