圆锥曲线定值定点问题作业-2024届高三数学一轮复习

河北衡水中学2024届高三一轮复习 实验二作业 第一组编人 ：第二组编人： 校对： 审核: 姓名： 学号： 日期： 定值与定点探索性问题（2） 1、已知抛物线C：x2＝8y，点F是抛物线的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点M的坐标为（2，﹣2）． （1）分别过A，B两点作抛物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率； （2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值λ，使得＝ 2、设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形. (1)求双曲线的离心率； (2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆C于P，Q两点． (Ⅰ)若点R在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程； (Ⅱ)若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求k1k2； (Ⅲ)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 4、如图，已知椭圆，等轴双曲线以原点为中心，且顶点是椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，． (1)设直线、的斜率分别为、，证明； (2)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5、（选做）如图39－11，C，D是离心率为的椭圆的左、右顶点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，A，B是直线x＝－4上的两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于E，F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点F1.当EF⊥CD时，点E恰为线段AD的中点． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)试判断以AB为直径的圆与直线EF的位置关系，并证明你的结论． 图39－11 6．（选做）已知双曲线的左焦点坐标为，直线与双曲线交于两点，线段中点为. (1)求双曲线的方程； (2)经过点与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，点，直线与双曲线分别交于另一点：①若直线与直线的斜率都存在，并分别设为.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.②证明：直线恒过定点. 定值与定点探索性问题（2） 1 解：（1），，，， 抛物线方程， 求导可得， 过点的切线方程为，过点的切线方程为， 点为两切线的交点， ，， 过，的直线方程为，化简可得，， ． （2）由题意可知，，过点的直线为， 设直线与抛物线交于，，，， 联立直线与抛物线方程，， 由韦达定理可得，，， ，同理可得，， ， ， 存在，使得． 2. 【答案】(1)2 (2)以为直径的圆过定点或 【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率； （2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，求出以为直径的圆的圆心和半径，得到以为直径的圆的方程，求出定点坐标，再验证当直线的斜率不存在时，是否满足. （1）由已知得：， 将代入中，， 当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形， 此时， 即，整理得：， 因为，所以， 方程两边同除以得：，解得：或（舍去）， 所以双曲线的离心率为2 （2）因为，所以，解得：， 故，，所以双曲线方程为， 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为：， 与双曲线联立得：， 设， 则，， 因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点， 所以，解得：， 直线，则， 同理可求得：， 则 ， 其中， 所以 则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为：， 整理得：，所以以为直径的圆过定点，， 当直线的斜率不存在时，此时不妨设， 此时直线，点P坐标为，同理可得：， .以为直径的圆的方程为，点，在此圆上， 综上：以为直径的圆过定点，. 3.如图39－17，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：＋＝1上一点，从原点O向圆R：(x－x0)2＋(y－y0)2＝8作两条切线，分别交椭圆C于P，Q两点． (Ⅰ)若点R在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程； 图39－17 (Ⅱ)若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求k1k2； (Ⅲ)试问|OP|2＋|OQ|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 答案：(Ⅰ)(x－2)2＋(y－2)2＝8　(Ⅱ) － (Ⅲ)|OP|2＋|OQ|2是定值，该定值为36 解：(Ⅰ)由圆R的方程知圆R的半径r＝2. 因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切， 所以|OR|＝r＝4，即x＋y＝16.(2分) 又点R在椭圆C上，且在第