预习02 向量的线性运算（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习02向量的线性运算 一、向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 二、相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 三、向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 四、向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 五、共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 考点01向量的加法运算 【方法点拨】向量加法的三角形法则与平行四边形法则作图的方法 法则 作法 三角形法则 ①把用小写字母表示的向量,用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与前一个向量的终点重合,即用同一个字母来表示); ②由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和 平行四边形法则 ①把两个已知向量的始点平移到同一点; ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形; ③与已知向量同起点的对角线表示的向量就是这两个已知向量的和 【例1】如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【例2】下列向量的运算结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】化简下列各式: (1) (2) 【变式1-3】已知用向量加法的三角形法则作出. (1)； (2). 考点02向量的减法运算 【方法点拨】向量减法的三角形法则作图的方法：平移向量使之共起点，连接两向量的终点，方向指向被减向量 【例3】已知向量、（三点不共线），若，则点是（    ） A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心 【例4】如图，已知向量，，不共线，求作向量．    【变式2-1】化简 (1)； (2)． 【变式2-2】已知正方形的边长为1，则（    ） A．0 B． C． D．4 【变式2-3】如图，已知向量、，求作． (1)   (2)   (3)   (4)   考点03向量的数乘运算及其几何意义 【方法点拨】（1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）当且时,或当且时, ,注意是,而不是. 【例5】“实数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【例6】（多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，，判断，是否共线，并说明理由. 考点04向量的线性运算 【方法点拨】向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 【例7】设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 【例8】若，则 ． 【变式4-1】已知向量，那么等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】求下列未知向量． (1)； (2)． 【变式4-3】若向量，，则 . 考点05用已知向量表示其他向量 【方法点拨】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意： （1）一个关键：一个关键是确定已知向量与被表