2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 二次函数--面积问题项训练

2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数--面积问题项训练（学生版） 课中讲解 一. 面积最值 内容讲解 如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积最大. 方法一：过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故当PD最大时，三角形PBC的面积有最大值. 方法二：以BC为底，则当BC边上的高最大时，三角形PBC的面积有最大值.故将BC平移，直到平移之后的直线与抛物线只有一个交点，此时，BC边上的高有最大值，且该交点就是所求的P点.利用求出平移之后的解析式，进而求得P点坐标，最后求出面积最大值. 例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是第一象限的抛物线上的一个动点．当面积最大时，请求出点的坐标； ． 例2.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点． （1）求该抛物线的一般式； （2）若点为该抛物线上第一象限内一动点，且点在对称轴的右侧，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； 例3.如图，直线：与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B,交轴正半轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为，△ABM的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点M的坐标； 过关检测 1.如图，已知抛物线与轴交于点、，与轴分别交于点，其中点，点，且 （1）求抛物线的解析式． （2）点是线段一动点，过作交于，当面积最大时，求点的坐标． 2.抛物线经过点和点． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线相交于．两点，点是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线交于点、． ①连结、，如图1，在点运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； 3.（18·龙泉驿一诊）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A为顶点的抛物线过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．      二. 面积定值 内容讲解 如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，在线段BC上方找一点P，使得三角形PBC的面积等于常数M. 方法：当给出的面积为定值并反求坐标的时候，则采用作铅锤高（水平宽）的方法，过点P作y轴的平行线，交直线BC于D，将三角形PBC分成两部分， P在抛物线上，设出P的坐标，再表示D的坐标，则.由于为定值，故可求出P的坐标. 例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，（点在轴左侧，点在轴右侧），连接，，若的面积为，求点，的坐标； 例2．（18·武侯二诊/19·成外一诊）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在直线上． （1）求直线的函数表达式； （2）现将抛物线沿该直线方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为A′，与直线的另一交点为B′，与x轴的右交点为C（点C不与点A′重合），连接B′C、A′C． ⅰ）如图，在平移过程中，当点B′在第四象限且△A′B′C的面积为60时，求平移的距离AA′的长； 例3.如图1抛物线经过原点，交x轴于另一点A（4，0），顶点为P． （1）求抛物线的解析式和点P的坐标； （2）如图2，点Q（0，a）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线交抛物线于点M，N，将抛物线沿直线MN翻折得到新的抛物线，点P落在点B处，若四边形BMPN的面积等于，求a的值及点B的坐标； 过关检测 1.如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点，与轴交于点，抛物线的顶点的坐标是． （1）分别求该直线和抛物线的函数表达式； （2）是抛物线上位于对称轴左侧的点，若的面积为，求点的坐标； 2.如图1，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于轴上一点和第一象限内一点，该抛物线顶点的纵坐标为5． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、，抛物线的对称轴与直线交于点，若，求的值； 3.如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于点，且点的纵坐标为6． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上的一个动点，若 的面积为4，求点的坐标； 三. 面积比值 内容讲解 如图：抛物线与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，过点C引一条直线CP，且P在x轴上，使得.（AP、BP与坐标轴重合或者是平行于坐标轴） 方法：观察和，两个三角形的高是一样的，则将面积比转化为底之比