备战2024年中考数学二轮细点逐一突破针对性训练第12章全等三角形（2）

备战2024年中考数学二轮细点逐一突破针对性训练 第12章全等三角形（2） 一、基础类型（平移，翻折，轴对称） 1． 如图，，，.求证：. 2．下列判断错误的是（　　） A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．三条边对应相等的两个三角形全等 C．全等三角形对应边上的高相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 3．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 4．已知：如图，点E、F在CD上，且，，． 求证：≌． 5．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明. 已知：在中，， 求证：. 方法一：如图1，在AB上取一点，使得，连接CD. 方法二：如图2，延长BC到，使得，连接AD. 我选择方法 ▲ . 证明： 二、一线三等角型 6．如图，在中，，点B在第四象限时，则点B的坐标为　 　． 7．如图，在中，，．点在线段上运动（不与，重合），连接，作，交线段于点． ⑴当时，　 　°； ⑵当　 　时，． 8．如图，CD是经过顶点C的一条直线，，E，F分别是直线CD上两点，且. 图1 图2 图3 （1）若直线CD经过的内部，且E，F在射线CD上. ①如图1，当时，证明：. ②如图2，若，当与满足什么数量关系时，①中的结论仍然成立，并说明理由. （2）如图3，若直线CD经过的外部，，猜想EF，BE，AF三条线段的数量关系，并证明. 9．【模型介绍】 如图，，，过点作于点，过点作于点．则．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成． 小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，再过点作轴的垂线，垂足为，可求出点的坐标为　 　，从而求得直线的表达式为　 　． （2）若将直线绕点顺时针旋转，所得直线的表达式为　 　． （3）点是线段上的一个动点，点是线段上一动点，若是等腰直角三角形，且，则点的坐标是　 　． 10． （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE＝BD+CE. （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点. 三、倍长中线模型 11．八（2）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起活动吧． [发现问题]他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，是的中线，若，求的取值范围． [探究方法]他们通过探究发现，延长至点E，使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． [问题解决] （1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程． （2）如图2，是的中线，且，求证：． 12．如下是某书中某一页的部分内容： 如图，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：. 证明：（已知） ，（两直线平行，内错角相等）. 在与中， ，（已证）， （已知）， ， （全等三角形的对应边相等）. 图（1） 图（2） 图（3） （1）【方法应用】如图（1），在中，，则边上的中线长度的取值范围是　 　； （2）【猜想证明】如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想. （3）【拓展延伸】如图（3），已知，点是的中点，点在线段上，，若，，直接写出线段的长。 四、十字架全等模型 13．