2024年四川省成都市中考数学二轮复习专题 探照灯模型专项训练

2024成都中考数学二轮复习专题 探照灯模型专项训练（学生版） 目标层级图 课中讲解 内容讲解 探照灯模型：如下图，直线外一点，到直线距离为定值（定高），为定角（定角），则有最小值。 证明：首先我们连接，，，过点作于点.显然，当且仅当三点共线时取“=”。由于的大小是一个定值，而且它是圆的圆周角，因此它所对的圆心角的度数，也是一个定值。 因此和圆的半径，有一个固定关系，所以，也和圆的半径，有一个固定的等量关系。再根据我们刚才说的，，就可以求得圆半径的最小值。 总结： 1.定角定高三角形面积最小值时，该三角形为等腰三角形，其定高是所对底边的垂直平分线，或者说定高过该三角形外接圆圆心。 2.定角可以看做是圆周角，因此它所对圆心角不变，往往要通过圆心角所在等腰三角形中解直角三角形。 3.定角定高作用，求这类三角形高所对底的最小值，以及这类三角形最小面积 一.简单探照灯模型 例1.边长为为常数）的正方形中，动点、分别在边和边上，且 （1）线段的最小值； （2）的最大值； （3）的最小值． 例2. （1）如图①，已知，点在内部，且，若点、分别在射线、上运动，则周长的最小值为　　； 问题探究： （2）如图②，在中，，，，，已知，请计算的长； 问题应用： （3）某市成功跻身国家中心城市的行列，该市拟在如图③所示的区域，建造城市最大的文化生态公园．已知在四边形中，，公园的设计师想在园中距离点为100米的点处修一休息厅，同时在边上选点，在边上选点，分别连接、、，使在周长最短的情况下，景观绿化区四边形的面积最大．设计师的想法能实现吗？如果能，请求出四边形面积的最大值；如果不能，请说明理由． 二.定角定高求周长最小 例1. 问题探究： （1）如图①，已知等边，边长为4，则的外接圆的半径长为　　． （2）如图②，在矩形中，，对角线与边的夹角为，点在为边上且，点是对角线上的一个动点，连接，，求周长的最小值． 问题解决： （3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为，如图③，若将两根光线和光线与城墙的两交点的连接的线段看作一个三角形，记为，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由． 例2.在中，,点到所在的直线的距离为120，求周周长的最小值. 三.旋转全等构造探照灯 例1. 如图1，已知是边长为4的等边三角形，点为的中点，，分别为边，上的动点，连接，，，①请直接写出的面积；②若，请求出周长的最小值； （2）如图2，已知四边形中，，，，，，为边上一个动点，点在直线上，且满足，连接．试探究的面积是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 例2. 如图，在四边形中，，，，点、分别为边、上的两个动点，且，则的面积的最小值是　　． 四.旋转位似构造探照灯 例1. 问题提出 （1）如图①，点在直线上，点在直线外，请用尺规在直线上找一点，使得（只作出满足条件一个图形即可）； （2）如图②，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积． 问题解决 （3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角内改建一个小型的儿童游乐场，其中平分，米，，点、分别在射线和上，且，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场面积的最小值；若不能，请说明理由． 例2. ，，，是中点，，求：面积的最小值 学习任务 1. （1）如图1，已知、为的两条弦，点为外一点，则　　（请用“”“ ”或“”填空） （2）①如图2，若等边内接于，，为的切线，则的面积为　　． ②如图3，在中，，为边上的高．若，试判断的面积是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图4，正方形的边长为4，点、分别为边、上的动点，且，求四边形面积的最大值． 2. 在四边形中，已知，，，点、分别为边、上的两动点，且． （1）求出四边形的面积． （2）是否存在周长最小值？若存在，求出最小值．若不存在，说明理由． （3）是否存在面积最小值？若存在，求出最小值．若不存在，说明理由． 3.如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是　　． （2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 问题解决： 如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 2024成都中考数学二轮复习专题 探照灯模型专项训练（学生版） 目标层级图 课中讲解 内容讲解 探照灯模型：如下图，直线外一点，到直线距离为定值（定高），为定角（定角），则有最小值。 证明：首先