函数专题-2024年高中数学竞赛讲义

第6讲 函数和 知识方法扫描 一、基本知识 定义：对任意实数，表示不超过的最大整数，称为的整数部分．与它相伴的是小数部分函数，，称为高斯函数，又称取整函数． 由和的定义不难得到如下性质： （1）的定义域为，值域为；的定义域为，值域为． （2）对任意实数，都有，且． （3）对任意实数，都有，． （4）是增函数，即若则，是以1为周期的周期函数，；．其中，． （5）；；，；特别地，． （6），其中，；一般有，；特别地，，，． （7），其中，． 二、基本定理 1．定理设，则在从1至的整数中，有个是的倍数． 2．定理2（厄米特恒等式），则 ， 典型例题剖析 例1计算和式的值． 例２ 求方程的实数解． 例3解方程：． 例4对任意的，计算和 例5已知，，证明： 例6设，求证：． 例7对任意的实数，定义，其中表示不超过的最大整数． （1）求函数的值域； （2）设，，，是任意给定的个互不相等的实数．求证： 存在某个正整数，使得 例8已知、均为正无理数，且满足 ① 求证：数列，都是严格递增的，并且具有如下性质 （1）； （2）． 同步训练 一、选择题 1．设，是的小数部分，则当时，的值（ ）． A．必为无理数 B．必为偶数 C．必为奇数 D．可为无理数或有理数 2．设，，其中表示不超过的最大整数．则的个位数字为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2013广东预赛）已知，（表示不超过的最大整数），设方程的两个不同实数解为和，则． ． 4．若为正数，表示的整数部分，而，如果，，顺次组成等比数列，则 ． 5．被63除的余数为 ．（符号表示不超过的最大整数） 6．设，则不超过的最大整数为 ． 7．某学校数学课外活动小组，在坐标纸上设计的某沙漠植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时， 其中，表示实数的整数部分，例如，．按此方案，第2008棵树种植点的坐标为 ． 8．用表示最接近的正整数，这里．记，则 ． 三、解答题 9．求出的个位数字． 10．设表示不大于的最大整数，集合，求． 11．若实数使得，求． 12．数列由下式确定：，，试求的整数部分．（注表示不大于的最大整数，即的整数部分） 13．在数列中，，（）．求证：当时，有（其中表示不超过的最大整数）． 14．证明：． 15．记为不超过实数的最大整数．设均为正实数，且对所有的正整数，都有成立．证明：，且是大于1的无理数． 16．设，证明：对任意，数列，，，，中至少包含一项是完全平方数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 一、基本知识 【证明】令，则，因此，．由于，，则由性质（3）知，，于是，，故． 定理【证明】因，即・，此式说明：不大于而是的倍数的正整数只有这，，，，． 定理2【证明】引入辅助函数 因对一切成立，所以是一个以为周期的周期函数，而当时，直接计算知，故对任意，厄米特恒等式成立． 例1【分析】利用对称性． 【解析】显然有：若，则，，． 503是一个质数，因此，对，，，，有都不会是整数，但． 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是， ， 故． 【评注】由于有对称性，可以进行倒序求和运算，这种方法在数列求和中常用． 例２ 【分析】利用与的大小比较，给出方程的根的一个合适的范围，然后检验． 【解析】因，又不是方程的解． 因此从而 ，或 解得或或7或8，分别代入方程，得 ，；， ，；， 经检验知，这4个值都是原方程的解． 【评注】本题先划定范围再求解并检验的方法值得借鉴． 例3【解析】当时，有，由于，则，矛盾． 当时，，有，则， 故 ， 即 因此，，，于是原方程可写为，解得，经检验，是原方程的解． 【评注】有关，，之间方程的求解，不等式估计范围是一种惯用手法． 例4【分析】利用厄米特恒等式． 【解析】因对一切，，，成立，则 又因为为固定数，当适当大时，，从而，故 【评注】厄米特恒等式在此处起了裂项的作用． 例5【分析】由于不等式的形式较好，因此可以尝试用数学归纳法． 【证明】令，，，，由于，于时，命题成立． 设时，命题成立，即有，，，． 因为，即对一切成立，所以， ，，，， 各式相加，得 故 所以，即时，命题成立．故原不等式对一切均成立，证毕． 【评注】本题方法实际上也是裂项法． 例6 【证明】由于，改记为，易知 表示由曲线与，所围区域中的整点数，即由同一条曲线与，所围区域中的整数点，如图6-1所示，因此（由归纳法易得，，，由此． 【评注】取整函数的几何意义即为曲线下方的整点个数问题． 例7【分析】（1）分情况讨论， （2）对所有正整数，对所求式子求和，估计最大值，然后使用抽屉原理． 【解析】（1）当为整数时，由，，知，．此时，． 当不是