零点定理与方程的根-2024年高中数学竞赛讲义

第5讲 零点定理与方程的根 知识方法扫描 常用性质与定理 1．设多项式，其中（可以是复数集，实数集，有理数集，整数集）．若中的数能够使，则称为的零点． 2．定理1（因式定理）设，则是零点的充要条件是被整除． 证明 ，显然后者被整除． 3．中次多项式至多有个不同的零点．设，，，是 的个不同的根， 则 4．设中多项式在中有个零点，则是零多项式（即所有项系数都是0）． 从而我们有： 5．定理2（多项式恒等定理）设，，且次数都小于，如果有个，使得，则（即与的同次㡍的系数相等） 6．设，其中，当正整数时，称为单根，当正整数时，称为重根，计算的零点个数时，重根计入重数． 我们有： 定理3（代数基本定理）在复数域中，任何次多项式恰有个根（重根重复计算）． 定理4如果不考虑因式的顺序，实系数次多项式可以唯一地分解为一次因式和有非零共轭复根的二次因式的乘积． ， 其中，且，． 推论1实系数次多项式的虚根成对出现． 推论2任何奇次数实系数多项式至少有一个实根． 定理5设，，且．若是的一个有理根，这里整数与互素，则，． 证明由，得 由于都能被整除，故，有，所以，同理． 定理6韦达（Viete）定理：设是的个根，则 ，， 证明 对照左、右两端的系数，左端的系数为，右端选个括号取，余下个括号取常数项，故右端的系数为 ， 所以， 故有． 1．若连续函数在两点取值分别为正和负，则在区间内有零点． 2．要注意利用三角变换等方法解方程． 3．要注意不等式、二次函数、单位根等方法的应用． 典型例题剖析 例1试求出一个整系数多项式 ， 使得方程有一根为． 例2设，解关于的方程 例3设多项式的三个根均为正数，且为一直角三角形的边长，求这三个根及的值． 例4设，，使得方程有3个实根． 求证：如果，则至少存在一个根在区间中． 例5 在实数范围内求方程的实数解． 例6已知 对均成立，求的值． 例7若关于的不等式 的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，求实数的取值范围． 例8证明满足不等式 的实数的集合是互不相交的区间的并集，并且这些区间长度的总和等于1988． 同步练习 一、选择题 1．方程组，的有理数解的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．以和为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）． A．2 B．3 C．5 D．6 3．设函数，且19，则（ ）． A．2 B．1 C．0 D． 4．如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有（） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 二、填空题 5．设、、为方程的根，则 ． 6．已知方程有两个相异的正实数解，则实数的取值范围是 ． 7．若、、为关于的方程的3个实根，则的最小值为 ． 8．方程的解为 ． 9．解方程组． 10．在实数范围内解方程． 11．求方程的实数根的个数． 12．证明方程有唯一实根． 13．设，证明：对任意实数 （1）方程总有一个相同的实数根； （2）存在，恒有． 14．整数、、使得和仍为整数，求证：． 15．设次多项式函数，求． 16．已知、、、、都为实数，且方程0）有一个大于1的实根，证明：方程至少有两个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 例1【分析】令，然后逐步去掉无理数，变为整系数多项式方程． 【解】令，则，三次方得，移项平方 得， 即． 【评注】已知根式解，寻求原方程，是解方程的逆问题． 例2【分析】这是一个关于的一元三次方程，按照常规思路，我们希望对方程左端进行因式分解达到降次的目的，进而得到方程的根，但得出因式分解的结果却比较困难．但若转换视角，将看作参数，则原方程可以看作关于的一元二次方程，有效地达到了降次的目的，进而得到巧妙且计算简单的解法． 解原方程可以整理为关于的方程 ， 即为 显然，于是解得，，反解得原方程的解为 ， 【评注】该题采用了“反客为主”的技巧，使问题“柳暗花明”． 例3【分析】题设条件给了多项式的部分系数及根所满足的条件，求根及系数，需建立根与系数所满足的方程，因而要用到根与系数的关系． 【解】设的3个正根分别为，不妨设 由根与系数的关系，得 则 于是 所以，，则，解得或，进而知． 所以的3个正实根分别为，，，． 【评注】注意多项式方程韦达定理的应用． 例4 【分析】利用韦达定理． 【证明】假设该方程的3个实根，，不在区间]中，由韦达定理，得 从而 从而-，即． 由假设或，得|，所以．矛盾! 所以假设不成立，故至少存在一个根在区间中． 【评注】对于涉及“至少”“存在”“唯一”的命题，有时使用反证法较为方便． 例5